Составь верное равенство и неравенство используя выражения. Понятие неравенства, связанные определения
В этой статье собрана информация, формирующая представление о равенстве в контексте математики. Здесь мы выясним, что такое равенство с математической точки зрения, и какие они бывают. Также поговорим о записи равенств и знаке равно. Наконец, перечислим основные свойства равенств и для наглядности приведем примеры.
Навигация по странице.
Что такое равенство?
Понятие равенства неразрывно связано со сравнением – сопоставлением свойств и признаков с целью выявлением схожих черт. А сравнение в свою очередь предполагает наличие двух предметов или объектов, один из которых сравнивается с другим. Если, конечно, не проводить сравнение предмета с самим собой, и то, это можно рассматривать как частный случай сравнения двух предметов: самого предмета и его «точной копии».
Из приведенных рассуждений понятно, что равенство не может существовать без наличия, по крайней мере, двух объектов, иначе нам просто нечего будет сравнивать. Понятно, что можно взять три, четыре и большее число объектов для сравнения. Но оно естественным образом сводится к сравнению всевозможных пар, составленных из этих объектов. Иными словами, оно сводится к сравнению двух объектов. Итак, равенство требует два объекта.
Суть понятия равенства в самом общем смысле наиболее отчетливо передается словом «одинаковые». Если взять два одинаковых объекта, то о них можно сказать, что они равные . В качестве примера приведем два равных квадрата и . Отличающиеся объекты, в свою очередь, называют неравными .
Понятие равенства может относиться как объектам в целом, так и к их отдельным свойствам и признакам. Объекты равны в целом, когда они равны по всем присущим им параметрам. В предыдущем примере мы говорили о равенстве объектов в целом – оба объекта квадраты, они одинакового размера, одинакового цвета, и вообще они полностью одинаковые. С другой стороны, объекты могут быть неравными в целом, но могут иметь некоторые равные характеристики. В качестве примера рассмотрим такие объекты и . Очевидно, они равны по форме –они оба являются кругами. А по цвету и по размеру – неравны, один из них синий, а другой – красный, один маленький, а другой - большой.
Из предыдущего примера для себя отметим, что нужно наперед знать, о равенстве чего именно мы говорим.
Все приведенные рассуждения применяются и к равенствам в математике, только здесь равенство относится к математическим объектам. То есть, изучая математику, мы будем говорить о равенстве чисел, равенстве значений выражений, равенстве каких-либо величин, например, длин, площадей, температур, производительностей труда и т.п.
Запись равенств, знак равно
Пришло время остановиться на правилах записи равенств. Для этого используется знак равно (его также называют знаком равенства), который имеет вид =, то есть, представляет собой две одинаковые черточки, расположенные горизонтально одна над другой. Знак равно = считается общепринятым.
При записи равенств записывают равные объекты и между ними ставят знак равно. Например, запись равных чисел 4 и 4 будет выглядеть следующим образом 4=4 , и ее можно прочитать как «четыре равно четырем». Еще пример: равенство площади S ABC треугольника ABC семи квадратным метрам запишется как S ABC =7 м 2 . По аналогии можно привести другие примеры записи равенств.
Стоит отметить, что в математике рассмотренные записи равенств часто используют как определение равенства.
Определение.
Записи, в которых используется знак равно, разделяющий два математических объекта (два числа, выражения и т.п.), называют равенствами .
Если письменно требуется обозначить неравенство двух объектов, то используется знак не равно ≠. Мы видим, что он представляет собой перечеркнутый знак равно. В качестве примера приведем запись 1+2≠7 . Ее можно прочитать так: «Сумма единицы и двойки не равна семи». Другой пример |AB|≠5 см. – длина отрезка AB не равна пяти сантиметрам.
Верные и неверные равенства
Записанные равенства могут отвечать смыслу понятия равенства, а могут и противоречить ему. В зависимости от этого равенства подразделяются на верные равенства и неверные равенства . Разберемся с этим на примерах.
Запишем равенство 5=5 . Числа 5 и 5 , вне всякого сомнения, равны, поэтому 5=5 – это верное равенство. А вот равенство 5=2 – неверное, так как числа 5 и 2 не равны.
Свойства равенств
Из того, как вводится понятие равенства, естественным образом вытекают характерные для него результаты – свойства равенств. Основными являются три свойства равенств :
- Свойство рефлексивности, утверждающее, что объект равен самому себе.
- Свойство симметричности, утверждающее, что если первый объект равен второму, то второй равен первому.
- И, наконец, свойство транзитивности, утверждающее, что если первый объект равен второму, а второй – третьему, то первый равен третьему.
Запишем озвученные свойства на языке математики с помощью букв:
- a=a ;
- если a=b , то b=a ;
- если a=b и b=c , то a=c .
Отдельно стоит отметить заслугу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – в том, что они позволяют говорить о равенстве трех и большего числа объектов через их попарное равенство.
Двойные, тройные равенства и т.д.
Наряду с обычными записями равенств, примеры которых мы привели в предыдущих пунктах, используются так называемые двойные равенства , тройные равенства и так далее, представляющие собой как бы цепочки равенств. Например, запись 1+1+1=2+1=3 является двойным равенством, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| - пример четверного равенства.
С помощью двойных, тройных и т.д. равенств удобно записывать равенство трех, четырех и т.д. объектов соответственно. Эти записи по своей сути обозначают равенство любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств. К примеру, указанное выше двойное равенство 1+1+1=2+1=3 по сути означает равенство 1+1+1=2+1 , и 2+1=3 , и 1+1+1=3 , а в силу свойства симметричности равенств и 2+1=1+1+1 , и 3=2+1 , и 3=1+1+1 .
В виде таких цепочек равенств удобно оформлять пошаговое решение примеров и задач, при этом решение выглядит кратко и видны промежуточные этапы преобразования исходного выражения.
Список литературы.
- Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
На данном уроке вы вместе с лягушкой познакомитесь с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», а также со знаками сравнения. На веселых и интересных примерах научитесь сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча.
Тема: Знакомство с основными понятиями в математике
Урок: Равенство и неравенство
На данном уроке мы познакомимся с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство» .
Попробуйте ответить на вопрос:
У стены стоят кадушки,
В каждой ровно по лягушке.
Если б было пять кадушек,
Сколько б было в них лягушек? (рис. 1)
Рис. 1
В стихотворении говорится, что кадушек было 5, в каждой кадушке по 1 лягушке, никто не остался без пары, значит число лягушек равно числу кадушек.
Обозначим кадушки буквой К, а лягушек - буквой Л.
Запишем равенство: К = Л. (рис. 2)
Рис. 2
Сравните по количеству две группы фигур. Фигур много, они разного размера, расположены без порядка. (рис. 3)
Рис. 3
Составим из этих фигур пары. Каждый квадрат соединим с треугольником. (рис. 4)
Рис. 4
Два квадрата остались без пары. Значит, количество квадратов не равно количеству треугольников. Обозначим квадраты буквой К, а треугольники - буквой Т.
Запишем неравенство: К ≠ Т. (рис. 5)
Рис. 5
Вывод : сравнивать количество элементов в двух группах можно, составляя пары. Если всем элементам хватает пары, то соответствующие числа равны , в этом случае ставим между цифрами или буквами знак равно . Эта запись называется равенством . (рис. 6)
Рис. 6
Если не хватает пары, то есть остаются лишние предметы, то эти числа неравны . Ставим между числами или буквами знак неравно . Эта запись называется неравенством. (рис. 7)
Рис. 7
Оставшиеся без пары элементы показывают, какое из двух чисел больше и на сколько. (рис. 8)
Рис. 8
Способ сравнения групп фигур с помощью составления пар не всегда удобен и занимает много времени. Можно сравнивать числа с помощью числового луча. (рис. 9)
Рис. 9
Сравните данные числа с помощью числового луча и поставьте знак сравнения.
Нужно сравнить числа 2 и 5. Посмотрим на числовой луч. Число 2 находится ближе к 0, чем число 5, или говорят, число 2 на числовом луче левее, чем число 5. Значит, 2 не равно 5. Это неравенство.
Знак «≠» (не равно) лишь фиксирует неравенство чисел, но не указывает, какое из них больше, а какое - меньше.
Из двух чисел на числовом луче меньшее расположено левее, а большее - правее. (рис. 10)
Рис. 10
Можно данное неравенство записать по-другому, используя знак меньше « < » или знак больше « > » :
На числовом луче число 7 находится правее, чем число 4, следовательно:
7 ≠ 4 и 7 > 4
Числа 9 и 9 равны, поэтому ставим знак =, это равенство:
Сравните количество точек и число и поставьте соответствующий знак. (рис. 11)
Рис. 11
На первом рисунке нам необходимо поставить знак = или ≠ .
Сравниваем две точки и число 2, ставим между ними знак =. Это равенство.
Сравниваем одну точку и число 3, на числовом луче число 1 находится левее, чем число 3, ставим знак ≠.
Сравниваем четыре точки и 4. Между ними ставим знак =. Это равенство.
Сравниваем три точки и число 4. Три точки - это число 3. На числовом луче оно левее, ставим знак ≠. Это неравенство. (рис. 12)
Рис. 12
На втором рисунке между точками и числами надо поставить знаки = , <, >.
Сравним пять точек и число 5. Между ними ставим знак =. Это равенство.
Сравним три точки и число 3. Здесь тоже можно поставить знак =.
Сравним пять точек и число 6. На числовом луче число 5 левее, чем число 6. Ставим знак <. Это неравенство.
Сравним две точки и единицу, число 2 правее на числовом луче, чем число 1. Ставим знак >. Это неравенство. (рис. 13)
Рис. 13
Вставьте в окошко число, чтобы полученное равенство и неравенство стали верными.
Это неравенство. Посмотрим на числовой луч. Раз мы ищем число меньше, чем число 7, значит оно должно быть левее числа 7 на числовом луче. (рис. 14)
Рис. 14
В окошко можно вставить несколько чисел. Сюда подходят числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Любое из них можно подставить в окошко и получить несколько верных неравенства. Например, 5 < 7 или 2 < 7
На числовом луче найдём числа, которые будут меньше 5. (рис. 15)
Рис. 15
Это числа 4, 3, 2, 1, 0. Следовательно, любое из этих чисел можно подставить в окошко, мы получим несколько верных неравенств. Например, 5 >4, 5 >3
В можно подставить только одно число 8.
На данном уроке мы познакомились с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», научились правильно расставлять знаки сравнения, потренировались сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча, что поможет в дальнейшем изучении математики.
Список литературы
- Александрова Л.А., Мордкович А.Г. Математика 1 класс. - М: Мнемозина, 2012.
- Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. - М: Астрель, 2012.
- Беденко М.В. Математика. 1 класс. - М7: Русское слово, 2012.
- Igraem.pro ().
- Slideshare.net ().
- Iqsha.ru ().
Домашнее задание
1. Какие знаки сравнения вы знаете, в каких случаях они используются? Запишите знаки сравнения чисел.
2. Сравните количество предметов на рисунке и поставьте знак «<», «>» или «=».
3. Сравни числа, поставив знак «<», «>» или «=».
Класс: 3
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: открытие новых знаний.
Технология: технология развития критического мышления через чтение и письмо, игровая технология.
Цели: Расширить знания учащихся о равенствах и неравенствах, познакомить с понятием верных и неверных равенств и неравенств.
Дидактическая задача: Организовать совместную, самостоятельную деятельность учащихся по изучению нового материала.
Задачи урока:
- Предметные
:
- познакомить с признаками равенства и неравенства; расширить представления учащихся о равенствах и неравенствах;
- познакомить с понятием верного и неверного равенства и неравенства;
- развитие навыков нахождения значения выражения, содержащего переменную;
- формирование вычислительных навыков.
- Метапредметные
:
- Познавательные:
- способствовать развитию внимания, памяти, мышления;
- развитие умения извлекать информацию, ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость нового знания;
- овладение приемами отбора и систематизации материала, уменими сопоставлять и сравнивать, преобразовывать информацию (в схему, таблицу).
- Регулятивные:
- развитие зрительного восприятия;
- продолжить работу над формированием действий самоконтроля и самооценки учащихся;
- Коммуникативные:
- пронаблюдать над взаимодействием детей в парах, внести необходимые коррективы;
- воспитывать взаимопомощь.
- Познавательные:
- Личностные
:
- повышение учебной мотивации учащихся путем использования на уроке интерактивной школьной доски Star Board;
- совершенствование навыков работы со Star Board.
Оборудование:
- Учебник «Математика» 3 класс, 2часть (Л.Г. Петерсон);
- индивидуальный раздаточный лист ;
- карточки для работы в парах;
- презентация к уроку, выведенная на панель Star Board;
- компьютер, проектор, панель Star Board.
Ход урока
I. Организационный момент.
И так, друзья, внимание.
Ведь прозвенел звонок
Садитесь поудобнее,
Начнем скорей урок!
II. Устный счет.
– Сегодня мы отправимся с вами в гости. Прослушав стихотворение, вы сможете назвать имя хозяйки. (Чтение стихотворение ученицей)
В веках математика овеяна славой,
Светило всех земных светил.
Ее царицей величавой
Недаром Гаусс окрестил.
Мы славим разум человека,
Дела его волшебных рук,
Надежду нынешнего века,
Царицу всех земных наук.
– И так, нас ждет Математика. В её царстве много княжеств, но сегодня мы посетим одно из них (слайд 4)
– Название княжества вы узнаете, решив примеры и расставив ответы в порядке возрастания. (Высказывание )
| 7200: 90 = 80 | С | 280: 70 = 4 | И | |
| 5400: 9 = 600 | Ы | 3500: 70 = 50 | З | |
| 2700: 300 = 9 | В | 4900: 700 = 7 | А | |
| 4800: 80 = 60 | А | 1600: 40 = 40 | Ы | |
| 560: 8 = 70 | К | 1800: 600 = 3 | Е | |
| 4200: 6 = 700 | В | 350: 70 = 5 | Н |
– Давайте вспомним, что такое высказывание? (Утверждение )
– Каким может быть высказывание? (Верным или неверным)
– Мы сегодня с вами будем работать с математическими высказываниями. Что к ним относится? (выражение, равенства, неравенства, уравнения)
III. Стадия 1. ВЫЗОВ. Подготовка к изучению нового.
(слайд 5 см. примечание)
– Княжна Высказывание предлагае вам первое испытание.
– Перед вами карточки. Найдите лишнюю карточку, покажите (а + 6 – 45 * 2).
– Почему она лишняя? (Выражение)
– Является ли выражение законченным утверждением? (Нет, не является, т.к. оно не доведено до логического завершения)
– А что такое равенство и неравенство, можно ли их назвать высказыванием?
– Назовите верные равенства.
– Как по-другому назвать верные равенства? (истинные)
– А неверные? (ложные)
– О каких равенствах нельзя сказать, что они истинные? (с переменной)
– Математика постоянно учит нас доказывать истинность или ложность наших высказываний.
IV. Сообщение цели урока.
– И сегодня мы должны узнать, что такое равенство и неравенство и научиться определять их истинность и ложность.
– Перед вами высказывания. Прочитайте их внимательно. Если вы считаете, его верным, то поставьте в первом столбике «+», если нет – «–».
| До чтения | После чтения | |
| Равенства – это два выражения, соединенных знаком «=» | ||
| Выражения могут быть числовыми и буквенными. | ||
| Если два выражения числовые, то равенство является высказыванием. | ||
| Числовые равенства могут быть истинными или ложными. | ||
| 6 * 3 = 18 – верное числовое равенство | ||
| 16: 3 = 8 – неверное числовое равенство | ||
| Два выражения, соединенных знаком «>» или «<» - неравенство. | ||
| Числовые неравенства являются высказываниями. |
Коллективная проверка с обоснованием своего предположения.
V. Стадия 2. ОСМЫСЛЕНИЕ. Изучение нового.
– Как мы можем проверить, верны ли наши предположения.
(учебник с. 74.)
– Что же такое равенство?
– Что же такое неравенство?
– Мы выполнили задание княжны Высказывание, и в награду она приглашает нас на праздник.
VI. Физкультминутка.
VII. Стадия 3. РЕФЛЕКСИЯ-РАЗМЫШЛЕНИЯ
1. с. 75, 5 (выведен на экран) (слайд 8)
– Прочитайте задание, что надо сделать?
| 8 + 12 = 20 | а > b | |
| 8 + 12 + 20 | а – b | |
| 8 + 12 > 20 | а + b = с | |
| 20 = 8 + 12 | а + b * с |
– Сколько равенств подчеркнули? Проверим.
– Сколько неравенст?
– Что помогло выполнить задание? (знаки «=», «>», «<»)
– Почему остались не подчеркнутые записи? (выражения)
2. Игра «Молчанка» (слайд 9)
(Учащиеся на узких полосках записывают равенства и показывают учителю, затем проверяют себя).
Запиши в виде равенства высказывание:
- 5 больше 3 на 2 (5 – 3 = 2)
- 12 больше 2 в 6 раз (12: 2 = 6)
- х меньше у на 3 (у – х = 3)
3. Решение уравнений (слайд 10)
– Что перед нами? (уравнения, равенства)
– Можем ли мы сказать верные они или ложные? (нет, есть переменная)
– Как найти, при каком значении переменной верны равенства? (решить)
- 1 колонка – 1 столбик
- 2 колонка – 2 столбик
- 3 колонка – 3 столбик
Поменяйтесь тетрадями и проверьте работу своего товарища. Оцените.
VIII. Итог урока.
– С какими понятиями мы сегодня работали?
– Какими могут быть равенства? (ложными или истинными)
– Как вы думаете, только ли на уроках математики надо уметь отличать ложные высказывания от истинных? (Человек в своей жизни очень много сталкивается с различной информацией, и надо уметь отделять истинную от ложной).
IX. Оценивание работы учащихся и выставление отметок.
– За что нас может благодарить царица Математика?
Примечание. Если учитель использует интерактивную школьную доску Star Board, данный слайд заменяется карточками, набранными на доске. При проверке учащиеся работают на доске.
Обратной стороной равенства выступает неравенство . В этой статье мы введем понятие неравенства, и дадим начальную информацию о них в контексте математики.
Сначала разберем, что такое неравенство, введем понятия не равно, больше, меньше. Дальше поговорим о записи неравенств с помощью знаков не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно. После этого затронем основные типы неравенств, дадим определения строгих и нестрогих, верных и неверных неравенств. Дальше мимоходом перечислим основные свойства неравенств. Наконец, остановимся на двойных, тройных и т.д. неравенствах, и разберем, какой смысл они несут в себе.
Навигация по странице.
Что такое неравенство?
Понятие неравенства , как и , связано со сравнением двух объектов. И если равенство характеризуется словом «одинаковые», то неравенство, напротив, говорит о различии сравниваемых объектов. Например, объекты и - одинаковые, про них можно сказать, что они равные. А вот два объекта и отличаются, то есть, они не равны или неравные .
Неравенство сравниваемых объектов познается вместе со смыслом таких слов, как выше, ниже (неравенство по высоте), толще, тоньше (неравенство по толщине), дальше, ближе (неравенство по удаленности от чего-либо), длиннее, короче (неравенство по длине), тяжелее, легче (неравенство по весу), ярче, тусклее (неравенство по яркости), теплее, холоднее и т.п.
Как мы уже отмечали при знакомстве с равенствами, можно говорить как о равенстве двух объектов в целом, так и о равенстве их некоторых характеристик. Это же относится и к неравенствам. В качестве примера приведем два объекта и . Очевидно, они не одинаковые, то есть, в целом они неравные. Они не равны по размеру, также они не равны по цвету, однако, можно говорить о равенстве их форм – они оба являются кругами.
В математике общий смысл неравенства сохраняется. Но в ее контексте речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений каких-либо величин (длин, весов, площадей, температур и т.п.), фигур, векторов и т.п.
Не равно, больше, меньше
Иногда ценность представляет именно сам факт неравенства двух объектов. А когда сравниваются значения каких-либо величин, то, выяснив их неравенство, обычно идут дальше, и выясняют, какая величина больше , а какая – меньше .
Смысл слов «больше» и «меньше» мы познаем практически с первых дней нашей жизни. На интуитивном уровне мы воспринимаем понятие больше и меньше в плане размера, количества и т.п. А дальше постепенно начинаем осознавать, что при этом фактически речь идет о сравнении чисел , отвечающим количеству некоторых предметов или значениям некоторых величин. То есть, в этих случаях мы выясняем, какое из чисел больше, а какое – меньше.
Приведем пример. Рассмотрим два отрезка AB
и CD
, и сравним их длины 
. Очевидно, они не равны, также очевидно, что отрезок AB
длиннее отрезка CD
. Таким образом, согласно смыслу слова «длиннее», длина отрезка AB
больше длины отрезка CD
, и в то же время длина отрезка CD
меньше длины отрезка AB
.
Еще пример. С утра была зафиксирована температура воздуха 11 градусов Цельсия, а в обед – 24 градуса. Согласно , 11 меньше 24 , следовательно, значение температуры с утра было меньше, чем ее значение в обед (температура в обед стала больше, чем была температура с утра).
Запись неравенств с помощью знаков
На письме приняты несколько знаков для записи неравенств. Первый из них – знак не равно , он представляет собой перечеркнутый знак равно: ≠. Знак не равно ставится между неравными объектами. Например, запись |AB|≠|CD| обозначает, что длина отрезка AB не равна длине отрезка CD . Аналогично, 3≠5 – три не равно пяти.
Аналогично используются знак больше > и знак меньше ≤. Знак больше записывается между большим и меньшим объектами, а знак меньше – между меньшим и большим. Приведем примеры использования этих знаков. Запись 7>1 читается как семь больше одного, а записать, что площадь треугольника ABC меньше площади треугольника DEF с использованием знака ≤ можно как SABC≤SDEF .
Также широко в ходу знак больше или равно вида ≥, а также знак меньше или равно ≤. Подробнее об их смысле и назначении поговорим в следующем пункте.
Еще заметим, что алгебраические записи со знаками не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно, аналогичные рассмотренным выше, называют неравенствами. Более того, имеет место определение неравенств в смысле вида их записи:
Определение.
Неравенства – это имеющие смысл алгебраические выражения, составленные с использованием знаков ≠, <, >, ≤, ≥.
Строгие и нестрогие неравенства
Определение.
Знаки меньше называют знаками строгих неравенств , а записанные с их помощью неравенства – строгими неравенствами .
В свою очередь
Определение.
Знаки меньше или равно ≤ и больше или равно ≥ называют знаками нестрогих неравенств , а составленные с их использованием неравенства – нестрогими неравенствами .
Сфера применения строгих неравенств понятна из вышеприведенной информации. А для чего нужны нестрогие неравенства? На практике с их помощью удобно моделировать ситуации, которые можно описать фразами «не больше» и «не меньше». Фраза «не больше» по сути означает меньше или столько же, ей отвечает знак меньше или равно вида ≤. Аналогично, «не меньше» значит столько же или больше, ей соответствует знак больше или равно ≥.
Отсюда становится понятно, почему знаки < и > получили название знаков строгих неравенств, а ≤ и ≥ - нестрогих. Первые исключают возможность равенства объектов, а вторые – допускают ее.
В заключение этого пункта покажем пару примеров использования нестрогих неравенств. Например, с помощью знака больше или равно можно записать тот факт, что a
является неотрицательным числом, как |a|≥0
. Еще пример: известно, что среднее геометрическое двух положительных чисел a
и b
меньше или равно их среднему арифметическому, то есть, 
.
Верные и неверные неравенства
Неравенства могут быть верными или неверными.
Определение.
Неравенство является верным , если оно соответствует введенному выше смыслу неравенства, в противном случае оно является неверным .
Приведем примеры верных и неверных неравенств. Например, 3≠3 – это неверное неравенство, так как числи 3 и 3 равные. Другой пример: пусть S – это площадь некоторой фигуры, тогда S<−7 – неверное неравенство, так как известно, что площадь фигуры по определению выражается неотрицательным числом. И еще пример неверного неравенства: |AB|>|AB| . А вот неравенства −3<12 , |AB|≤|AC|+|BC| и |−4|≥0 – верные. Первое из них отвечает , второе – выражает неравенство треугольника , а третье – согласуется с определением модуля числа.
Отметим, что наряду со словосочетанием «верное неравенство» используются такие словосочетания: «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.п., означающие одно и то же.
Свойства неравенств
Согласно тому, как мы ввели понятие неравенства, можно описать основные свойства неравенств . Понятно, что объект не может быть не равен самому себе. В этом состоит первое свойство неравенств. Второе свойство не менее очевидно: если первый объект не равен второму, то второй не равен первому.
Введенные на некотором множестве понятия «меньше» и «больше» задают на исходном множестве так называемые отношения «меньше» и «больше». Это же относится и к отношениям «меньше или равно» и «больше или равно». Они также обладают характерными свойствами.
Начнем со свойств отношений, которым соответствуют знаки < и >. Перечислим их, после чего дадим необходимые комментарии для пояснения:
- антирефлексивность;
- антисимметричность;
- транзитивность.
Свойство антирефлексивности с помощью букв можно записать так: для любого объекта a неравенства a>a и ab , то ba . Наконец, свойство транзитивности состоит в том, что из ab и b>c следует, что a>c . Это свойство также воспринимается достаточно естественно: если первый объект меньше (больше) второго, а второй меньше (больше) третьего, то понятно, что первый объект подавно меньше (больше) третьего.
В свою очередь отношениям «меньше или равно» и «больше или равно» присущи следующие свойства:
- рефлексивности: имеют место неравенства a≤a и a≥a (так как они включают в себя случай a=a );
- антисимметричности: если a≤b , то b≥a , и если a≥b , то b≤a ;
- транзитивности: из a≤b и b≤c следует, что a≤c , а из a≥b и b≥c следует, что a≥c .
Двойные, тройные неравенства и т.д.
Свойство транзитивности, которое мы затронули в предыдущем пункте, позволяет составлять так называемые двойные, тройные и т.д. неравенства, представляющие собой цепочки неравенств. Для примера приведем двойное неравенство a Теперь разберем, как понимать такие записи. Их следует трактовать в согласии со смыслом содержащихся в них знаков. Например, двойное неравенство a В заключение заметим, что иногда удобно использовать записи в виде цепочек, содержащих одновременно как знаки равно, не равно, так и знаки строгих и нестрогих неравенств. Например, x=2 Список литературы.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение города Иркутска средняя общеобразовательная школа № 23 Урок разработала: .
Тип урока
: урок открытия нового знания. Технология построения урока
: технология развития критического мышления. Системно-деятельностный подход, здоровьесберегающие технологии. Тема урока:
Верные и неверные равенства и неравенства.
Цели урока
: учить находить (распознавать) верные и неверные равенства и неравенства. Основные термины, понятия
:
равенства, неравенства, верные, неверные, сравнение., знаки «больше», «меньше», «равно». Планируемые результаты:
Личностные УУД:
Регулятивные УУД:
Познавательные УУД:
Коммуникативные УУД:
Организация пространства ХОД УРОКА
Организационный момент.
Придумано кем-то Просто и мудро При встрече здороваться: «Доброе утро!» Доброе утро, дорогие мои ученики! Доброе утро всем присутствующим! Мы рады, что на нашем уроке присутствую гости. Ведь недаром народная мудрость гласит: «Гости в доме – хозяевам радость!» Давайте повернемся к уважаемым учителям, поздороваемся с ними, кивнем головкой. Молодцы, вы показали себя вежливыми , воспитанными учениками. Ученица:
Мы гостей сегодня ждали И с волнением встречали: Хорошо ли мы умеем И писать и отвечать? Не судите очень строго, Ведь учились мы немного. Учитель
: Мы начинаем урок математики, а это значит, нас ждут важные открытия. Какие качества пригодятся вам на уроке математики? (Наблюдательность, находчивость, внимательность, точность, аккуратность и т. д.).
1 стадия. «Вызов».
Учитель: А начнем с зарядки для ума. (Один отвечает, а дети сигналят). 2. Сумма чисел 3 и 3 ? 3. Уменьшаемое 7, вычитаемое 4, значение разности? 4. 1 слагаемое 1, второе слагаемое 6, значение суммы? 5. Разность чисел 6 и 4? 6. 5 увеличить на 1? 7. 6 уменьшить на 6? 8. 4, это 2 и? 9. Число предыдущее числа 7? 10. Число последующее числа 9? 11. Горело 7 свечей, 2 свечи погасили. Сколько свечей осталось? (Две свечи.) 12. Портфель Коли помещается в портфеле Васи, а портфель Васи можно спрятать в портфель Севы. Какой из этих портфелей самый большой? 13. (Схема на доске). В Китае людей живет больше, чем в Индии, а в Индии людей живет больше, чем в России. В какой из этих стран самая большая численность населения? 2 УЗ. Внимательно посмотрите на доску. 5…9 8 … 8 7-1 … 4 8 – 4 … 3 + 1 На какие группы можно разбить все, что изображено, записано на доске? Ответы детей: - Предметы живой природы, математические записи, геометрические фигуры; - Равенства и неравенства и др. Дети формулируют тему урока: Равенства и неравенства. Равенства Неравенства (На доске) В рабочей тетради запишите в 1 столбик равенства. (1 ребенок у доски). Во второй столбик запишите неравенства. (1 ребенок у доски, дети запись не видят). Проверка. Вывод. Физминутка для глаз.
Методический прием: плюс - минус – вопрос.
Учитель: - ребята, у каждого на парте лежит таблица №1. Как вы думаете, какое задание я могу вам предложить? (Варианты детей). В 3 столбце вам нужно на каждое утверждение отметить значком: «+» вы ставите, если утверждение правильно, «-» - если неправильно, и «?» - если затрудняетесь ответить. Значки всегда ставим карандашом. Кому все понятно, вы можете приступить к работе. (Пауза). А с ребятами, которые сомневаются, я предлагаю начать работу вместе. Таблица № 1. *Равенство?
*Неравенство?
3 + 4 = 7
**Равенство?
6 = 4 + 2
**Равенство?
6 < 7
Равенство?
Равенство?
2 + 3 + 1 = 2 + 4
Неравенство?
9
>
7
Неравенство?
6
<3
Равенство?
Равенство?
Неравенство?
2 - 1
<
8
Неравенство?
8
> 4 + 4
Равенство?
5 – 3 = 2
Равенство?
8 – 3 = 2 + 3
Неравенство?
9
>
9
Легко было справиться с заданием? С какими трудностями столкнулись? Физминутка
1. Сколько точек в этом круге, столько раз поднимем руки. 2. Сколько елочек зеленых, столько сделаем наклонов 3. Сколько здесь кружков, столько сделаем прыжков. 4. Дружно звездочки считаем, столько вместе приседаем. Прием: З-Х-У.
Итак, что я знаю?! Заполните 1 столбец таблицы. Таблица № 2. -
Что бы вам хотелось узнать сегодня на уроке? (Ответы детей). Заполните 2 столбец таблицы. (Дети самостоятельно формулируют тему урока). 2 стадия. Осмысление.
Прием. Инсерт
(система маркировки текста (матем. записей)). Ребята, как вы думаете, как нам узнать, правильно ли мы рассуждали или нет? (Возможные ответы детей: Найти ответ в глобальной сети интернет, спросить у взрослых, спросить у учителя, в учебнике). Откройте, пожалуйста, учебник на стр. 38 (3, 8), № 96 (9, 6). И найдите мальчика и девочку, которые также как и вы справлялись с заданием. «Катя и Саша выполняли одинаковые задания. Посмотрите, что у них получилось». С помощью каких значков мы можем прокомментировать ответ. В учебнике ставим «+», если правильно, «-», если неправильно. Работаем в паре. Молодцы! Поднимите руки те, кто узнал новое на уроке математике (Ответы детей: равенства и неравенства бывают верными (правильная запись) и неверными (запись с ошибками). Можем ли мы заполнить 3 столбец таблицы? (Дети заполняют). Метод «тонких вопросов».
(1 ученик у доски, остальные дети работают в парах). Раздаточный материал
: «равенства», «неравенства», «верные», «верные», «неверные», «неверные», «9>3», «5 + 1 < 8», «6 < 4», «7 > 5 + 4», «5 – 1 = 4», «9 = 4 + 2», «6 = 6», «3 = 8». Равенства = Неравенства >, < Неверные Неверные 3 стадия. Рефлексия.
Ребята, продолжите фразу: «Сегодня на уроке математике я узнал….»; «Мне было интересно…»; «Теперь я умею…». Спасибо за урок! На уроке старались думать, отвечать правильно, доказывая свое мнение, значит, добьетесь больших успехов в математике! Молодцы!
Закрепить умение записывать равенства и неравенства с помощью символов. Формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать по разным основаниям, моделировать выбор способов деятельности, группировать.
Развивать умение спрашивать, интересоваться чужим мнением и высказывать своё; вступать в диалог.
- учащиеся должны иметь представление о верных и неверных неравенствах;
- учащиеся должны иметь общее понятие о верных и неверных равенствах;
- учащиеся должны распознавать верные и неверные равенства и верные и неверные неравенства;
- учащиеся должны уметь провести анализ предложенной ситуации;
- учащиеся должны уметь воспроизводить полученные знания.
- определять общие для всех правила поведения;
- определять правила работы в парах;
- оценивать усваиваемое содержание учебного материала (исходя из личностных ценностей);
- устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.
- определять и формулировать цель деятельности на уроке ;
- формулировать учебные задачи, делать выводы;
- работать по предложенному плану, инструкции;
- высказывать свое предположение на основе учебного материала;
- отличать верно выполненное задание от неверного.
- ориентироваться в учебнике, тетради;
- ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания);
- находить ответы на вопросы, используя свои знания;
- проводить анализ учебного материала;
- проводить сравнение, объясняя критерии сравнения.
- слушать и понимать речь других;
- учиться с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, доказывать свое мнение.
Формы работы
: фронтальная, работа в парах, индивидуальная.
- Тема урока: Равенства и неравенства. - Какие бывают равенства? (верные и неверные). - Какие бываю неравенства? (верные и неверные). - Какие равенства и неравенства называют верными, а какими – неверными? (примеры).
(На доске)
