Предельный цикл пример рассмотрим систему окружностей. Предельные циклы

После рассмотрения состояний равновесия перейдем к периодическим движениям, которые, как мы знаем, могут встречаться в системах, описываемых уравнениями

Если наименьшее число, для которого при всяком

то движение называется периодическим движением с периодом Как мы знаем, периодическому движению соответствует замкнутая фазовая траектория на фазовой плоскости х, у, и обратно: всякой замкнутой траектории соответствует бесчисленное множество периодических движений, отличающихся друг от друга выбором начала отсчета времени. Замкнутые фазовые траектории мы уже встречали при рассмотрении консервативных систем, где они всегда образовывали целые континуумы траекторий, вложенных одна в другую (например, траектории вокруг особой точки типа центра). В рассмотренных нами примерах автоколебательных систем (генератор с -характеристикой, часы; см. гл. III, §§ 3-5) периодическому движению на фазовой плоскости соответствовала изолированная замкнутая кривая, к которой с внешней и внутренней сторон приближались (при возрастании соседние траектории по спиралям. Такие изолированные замкнутые траектории носят название предельных циклов. Простые примеры позволяют убедиться, что и системы вида (5.1) с аналитическими правыми частями, вообще говоря, допускают в качестве траекторий предельные циклы.

Мы будем называть предельный цикл устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, - окрестность что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности асимптотически при приближаются к предельному циклу.

Если же, наоборот, в любэй сколь угодно малой окрестности предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при то такой предельный цикл будем называть неустойчивым. Для иллюстрации сказанного на рис. 240 изображен устойчивый предельный цикл, а на рис. 241 и 242 - неустойчивые предельные циклы. Заметим, что неустойчивые циклы, подобные изображенному на рис. 242, такие, что все траектории с одной стороны (например, извне) приближаются к ним, а с другой стороны (например, изнутри) удаляются от них при иногда называют «полуустойчи-выми» или двойными (последнее название обусловлено тем, что обычно такие циклы при подходящем изменении параметра системы расщепляются на два, один из которых устойчив, а другой неустойчив).

Наряду с устойчивостью предельного цикла как траектории, определение которой было только что дано (ее часто называют орбитной устойчивостью), можно говорить об устойчивости в смысле

Ляпунова периодического движения, соответствующего предельному циклу. Именно, периодическое движение периодом так что называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для каждого заданного положительного можно подыскать такое положительное 8, что для любого другого движения удовлетворяющего условиям

выполняются неравенства:

при любых Ниже мы будем пользоваться главным образом понятием орбитной устойчивости предельного цикла.

Устойчивость предельного цикла (равно как и устойчивость в смысле Ляпунова соответствующих периодических движений) определяется знаком его «характеристического показателям

где любое периодическое решение, соответствующее рассматриваемому предельному циклу, и период решения. Именно, предельный цикл устойчив при и неустойчив при (значению соответствуют как устойчивые, так и неустойчивые предельные циклы).

Для исследования устойчивости периодического движения в смысле Ляпунова можно, как показал Ляпунов, идти по пути линеаризации уравнений, подобно тому, как мы это делали при исследовании устойчивости состояний равновесия. Если положить подставить эти выражения в уравнения (5.1), разложить правые части этих уравнений - функции в ряды по степеням и отбросить нелинейные члены, то мы получим линейные уравнения («уравнения первого приближения») для координат «возмущения» и :

Это - система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами периода (ибо суть функции от периодических функций времени с периодом Общий вид ее решения таков:

где - некоторые периодические функции (с периодом От показателей которые носят название «характеристических показателей», зависит характер решений для и именно, знаки их действительных частей определяют, являются ли эти решения нарастающими или затухающими.

В рассматриваемой задаче (в силу автономности исходной системы уравнений (5.1)) один из характеристических показателей равен нулю, а другой равен Знак этого показателя определяет, устойчиво ли движение , именно: периодическое движение устойчиво в смысле Ляпунова (правда, не абсолютно, так как возмущения по фазе не затухают), если и неустойчиво, если если же то уравнения первого приближения не решают вопроса об устойчивости периодического движения.

Прежде чем переходить к доказательству сформулированного условия устойчивости предельного цикла, мы остановимся, забегая по некоторым пунктам немного вперед, на принципиальном вопросе о физической интерпретации изолированных замкнутых траекторий - предельных циклов.

Если мы потребуем, чтобы в реальных физических системах качественный характер возможных движений сохранялся при произвольных малых изменениях самих систем (на языке математики - при произвольных малых изменениях правых частей системы (5.1)), то, как это мы увидим в дальнейшем, мы этим запретим существование неизолированных замкнутых кривых. В системах, удовлетворяющих этому требованию устойчивости качественного характера движений при малых изменениях динамической системы, - в так называемых «грубых» системах, - могут быть только изолированные замкнутые траектории (только предельные циклы) и притом обязательно с характеристическим показателем, отличным от нуля (поэтому орбитная устойчивость предельного цикла влечет за собой устойчивость по Ляпунову всех соответствующих ему периодических движений).

С физической точки зрения представляет интерес следующее замечание, которое можно сделать относительно движений, отображаемых устойчивым предельным циклом. Именно, можно сказать, что для таких движений период и «амплитуда» не зависят от начальных условий в том смысле, что все соседние движения (соответствующие целой области начальных значений - так называемой области устойчивости в большом) асимптотически приближаются к периодическому движению по предельному циклу, которое имеет определенный период и определенную «амплитуду».

Вышеприведенные свойства периодических движений, отображаемых предельными циклами с отрицательными характеристическими показателями: а) устойчивость по отношению к малым изменениям самой системы; б) независимость (в указанном смысле) периода и «амплитуды» от начальных условий - составляют характерную черту реальных автоколебательных процессов.

Конкретное исследование уравнений вида (5.1), с которыми пришлось иметь дело в различных случаях автоколебаний, также показало на ряде примеров, что если уравнения (5.1) с достаточной точностью отображают законы движения реальной автоколебательной

системы, то они обязательно имеют предельные циклы с отрицательным характеристическим показателем, и что стационарные периодичёские процессы действительно отображаются этими предельными циклами.

Отсюда мы делаем такой вывод: реальные автоколебательные процессы, устанавливающиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями (5.1), математически соответствуют предельным циклам с отрицательным характеристическим показателем. Наличие таких предельных циклов в фазовом портрете рассматриваемой динамической системы является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих начальных условиях) существования автоколебаний в системе, т. е. для того, чтобы, система была автоколебательной .

Неустойчивый предельный цикл, имеющий положительный характеристический показатель, само собой разумеется, также может содержаться в фазовом портрете «грубых» систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу; он играет лишь роль «водораздела», по обе стороны от которого траектории имеют различное поведение. Ясно, что это обстоятельство также имеет существенный физический интерес. Например, наличие неустойчивого цикла дает объяснение так называемого «жесткого» режима, при котором малые начальные отклонения в системе затухают, а большие, наоборот, нарастают.

Мы рассмотрели два типа особых траекторий: особые точки и сепаратрисы. Очень важным видом особой траектории является «предельный цикл». В линейной системе второго порядка описываемой дифференциальным уравнением (1), при имеем замкнутую фазовую траекторию (эллипс), которую мы не можем отнести к предельным циклам, т.к. в этом случае имеем в системе не автоколебания, а границу устойчивости линейной системы. Во всех остальных случаях изолированные, замкнутые фазовые траектории принято называть предельными циклами.

Предельный цикл соответствует устойчивому периодическому режиму – автоколебаниям, если все фазовые траектории «наматываются» на предельный цикл (устойчивый предельный цикл) (Рис. 18).

Если же все фазовые траектории «сматываются» с предельного цикла, как изнутри, так и снаружи, такой предельный цикл неустойчив и соответствует неустойчивым автоколебаниям. (Рис. 19).

Если же соседние траектории «навёртываются» на предельный цикл с одной стороны и «свёртываются» с другой, такой предельный цикл называется полуустойчивым. (Рис. 20).

Итак, при исследовании НСАР особыми траекториями являются «особые точки» (положение равновесия) и предельные циклы (устойчивые периодические колебания). Они и составляют схему фазового портрета.

1. Метод точечного преобразования

Метод точечных преобразований предложен академиком Андроновым и является дополнением к методу фазовой плоскости. Он служит для анализа возможных режимов в НСАР и их количественной оценки. Пусть изображающая точка в какой-то момент времени находится на верхней полуоси ординат (·Y 1). При движении изображающей точки по фазовой траектории она обходит начало координат и снова возвращается на полуось (·Y 2). (Рис. 21)

При этом «Y 2 » может быть больше, меньше или равно «Y 1 ». Операция нахождения точкиY 2 по заданной точкеY 1 называетсяточечным преобразованием .

Аналитическое взаимно однозначное и непрерывное соответствие точек Y 2 с точкамиY 1 на одной и той же полупрямой (т.е. точечное преобразование) устанавливается с помощью так называемойфункции последования , которая может быть получена из уравнения фазовой траектории

(14)

С помощью этой зависимости можно осуществить точечное преобразование всех точек положительной полуоси ординат, или, другими словами, точечное преобразование положительной полуоси Y, в саму себя.

Графическое изображение
называетсядиаграммой точечного преобразования . По этой диаграмме мы и можем исследовать всевозможные режимы в НСАР, не строя фазового портрета. Точечное преобразование можно осуществлять необязательно для положительной полуоси. В принципе это можно делать для полуосиXи других прямых. Предположим, что имеется диаграмма точечного преобразования. (Рис. 22)

Характер процессов, происходящих в НСАР определяется взаимным расположением диаграммы точечного преобразования [
] и биссектрисы координатного угла, уравнение которойY 2 =Y 1 . Это означает, что после обхода вокруг начала (·)Y 1 возвращается на своё место и, следовательно, в системе имеют место незатухающие колебания (предельный цикл).

Область ниже биссектрисы ОА означает, что после обхода начала координат Y 1

Область выше биссектрисы ОА соответствует Y 2 >Y 1 , и, следовательно, в этой области фазовые траектории представляют раскручивающуюся спираль (расходящиеся колебания).

Рассмотрим характер процессов в САР при любых начальных условиях:

Точечное преобразование точки- точка 1 (Рис. 22). К точке 1 применим ещё раз точечное преобразование, для чего найдём на оси абсцисс значение
. Для этого проведём через точку 1 прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения с биссектрисой (точка 2). Точечное преобразование точки 2 – точка 3. Повторяя эти преобразования получаем ступенчатую линию, приводящую нас в точку равновесия А 2 . Точки касания ступенчатой линией биссектрисы ОА определяют последовательность точек пересечения фазовой траекторией полуосиY.

При начальных условиях Y 0 =Y 11 (справа от точки А 2) точечные преобразования опять приводят нас к точке А 2 , следовательно точка А 2 является точкой устойчивого равновесия и соответствует устойчивому предельному циклу.

Аналогичные рассуждения в окрестностях точки А 1 показывают, что точка А 1 является точкой неустойчивого равновесия (неустойчивый предельный цикл).

Итак, устойчивым предельным циклам соответствуют такие точки пересечения диаграммы точечного преобразования с биссектрисой Y 2 =Y 1 , в которых диаграмма точечного преобразования имеет меньший наклон к оси абсцисс, чем биссектриса.

Аналитически это записывается так:
, т.к.биссектрисы = 1. При
имеем неустойчивый предельный цикл. Другими словами, устойчивый предельный цикл получается, если диаграмма точечного преобразования пересекает биссектрисуY 2 =Y 1 сверху вниз, а неустойчивый – если снизу вверх. Таким образом, кривая точечного преобразования позволяет проанализировать возможные режимы поведения НСАР, а именно:

система устойчива в малом, т.к. при Y 1

в системе возможен один предельный устойчивый цикл (точка А 2).

Зная координаты точки А 2 , можно рассчитать частоту и амплитуду автоколебаний. При изменении параметров НСАР диаграмма точечного преобразования перемещается относительно биссектрисы угла. При этом поведение НСАР может качественно меняться (Рис. 23).

Кривая 1, как мы видели ранее, соответствует устойчивости в малом и двум предельным циклам: устойчивому (А 2) и неустойчивому (А 1). Кривая 3 соответствует устойчивости в целом (ни одного предельного цикла). Кривая 2 касается биссектрисы и соответствует полуустойчивому предельному циклу. При изменении параметров НСАР мы переходим от кривой 2 к кривой 1 или 3, т.е. кривая 2 является границей между совершенно разными режимами работы НСАР. Значения параметров НСАР, при которых имеет место полуустойчивый предельный цикл, называютсябифуркационными . (Бифуркация (лат.) – разделение, разветвление).

Динамич. системы, изображающая периодич. движение. В окрестности П. ц. либо удаляются от него (неустойчивый П. ц.), либо неограниченно приближаются к нему - "наматываются" на него (устойчивый П. ц.). Поведение траекторий в окрестности П. ц. связано со значениями его мультипликаторов (см. Бифуркация ).Если абс. величины всех мультипликаторов меньше 1, то все трдектории неограниченно приближаются к нему и он устойчив. Устойчивый П. ц. является матем. образом периодич. автоколебаний . Напр., ур-ние Ван дер Поля (описывающее, в частности, динамику лампового генератора) имеет при значениях параметра > 0 единственный устойчивый П. ц. (рис. 1).

Рис. 1. Фазовые портреты генератора Ван дер Поля при различных значениях нелинейности: а - квазигармоничные ; 6 - сильно несинусоидальные; в - релаксационные.

Для систем с одной степенью свободы (их фазовое пространство - плоскость) устойчивыми П. ц. и устойчивыми состояними равновесия исчерпываются все возможные объекты, к-рые притягивают соседние траектории на фазовой плоскости. В многомерных динамич. системах с размерностью фазового пространства n 3 возможны более сложные притягивающие объекты - аттракторы.

Рис. 2. Седловой предельный цикл: - устойчивое се-паратрисное многообразие;- неустойчивое сепаратри-сное многообразие.

Если часть мультипликаторов (но не все) по модулю больше 1, то П. ц. седловой (рис. 2) и лежит на пересечении двух сепаратрисных многообразий: устойчивого, по к-рому траектории приближаются к П. ц., и неустойчивого, состоящего из удаляющихся от П. ц. траекторий. Устойчивые многообразия П. ц. могут разделять в фазовом пространстве области притяжения разл. аттракторов - как простых (состояние равновесия, устойчивый П. ц.), так и странных. Неустойчивые многообразия седловых П. ц. могут входить в состав странных аттракторов и стохастич. множеств гамиль-тоновых систем и определять их структуру. Если все мультипликаторы по модулю больше 1, то П. ц. неустойчив (устойчив при обращении направления движения по траектории, т. е. при).

При анализе шума округления в цифровых фильтрах предполагалось, что разность между соседними отсчетами входного сигнала велика по сравнению с шагом квантования. Это позволяло считать, что отсчеты шума округления некоррелированы как друг с другом, так и с отсчетами входной последовательности. Ясно, что во многих случаях (например, если входной сигнал постоянен или равен нулю) такое предположение несправедливо.

Рассмотрим в качестве примера разностное уравнение

и предположим, что входная последовательность (т. е. вход фильтра отключен), а начальное условие имеет вид (Значения переменной у выражаются в единицах шага квантования Q и поэтому не могут быть дробными.) В приводимой ниже таблице сопоставляются точные значения , рассчитанные, согласно уравнению (5.122), без использования округления, а также значения, получающиеся при расчетах с округлением.

Хотя точные значения экспоненциально стремятся к нулю, при использовании округления значения «затягиваются» на уровне, равном 10, и дальше уже не могут измениться. Рассмотренный пример иллюстрирует возникновение в рекурсивном цифровом фильтре эффекта предельного цикла при нулевом входном сигнале. Амплитудные интервалы, в которых возникают эффекты предельного цикла, Блэкман назвал мертвыми зонами. В рассмотренном примере при любом будет получаться, что , если . Таким образом, интервал является мертвой зоной.

Джексон исследовал предельные циклы в системах первого и второго порядка, используя понятие «эффективных значений» коэффициентов фильтра, т. е. учитывая, что предельные циклы возникают только тогда, когда округление фактически приводит к появлению полюсов на единичной окружности. Так, для системы, описываемой разностным уравнением первого порядка

где символ обозначает операцию округления до ближайшего целого, а при , мертвой зоной, в которой могут существовать предельные циклы, является интервал , причем к равно наибольшему целому числу, удовлетворяющему неравенству

(5.124)

Из приведенного примера следует, что при отрицательных а отсчеты на выходе фильтра в режиме предельного цикла имеют постоянные амплитуду и знак. Если же , то отсчеты на выходе в режиме предельного цикла будут иметь постоянную амплитуду, но чередующийся знак. При всех значениях в пределах мертвой зоны эффективное значение множителя а равно ±1, т. е. . Таким образом, разностному уравнению (5.123) соответствует эффективный полюс в точке .

Для системы второго порядка, описываемой разностным уравнением

мертвой зоной, в которой могут возникать эффекты предельного цикла, является интервал , где k - наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству

(5.126)

Формула (5.126) аналогична формуле (5.124), но а заменено на . При выполнении соотношения (5.126) полюсы фильтра наверняка попадают на единичную окружность, т. е. эффективное значение равно 1,0. (Отметим, что при полюсы будут комплексно сопряженными, а фильтр - устойчивым.) Частота колебаний в режиме предельного цикла определяется главным образом значением но зависит также и от того, как округление сказывается на величине произведения в формуле (5.125).

Из формулы (5.126) следует, что наименьшее значение при котором еще образуется пара эффективных комплексно сопряженных полюсов равно 0,5. В этом случае Следующее значение для которого эффекты предельного цикла возникают при большем значении k, равно 0,75. В этом случае или 2. При любом значении существует только конечное число интервалов значений , при которых могут возникать различные эффекты предельного цикла. Соответствующие области в плоскости для блока второго порядка, описываемого уравнением (5.125), показаны на фиг. 5.42. Область, в которой предельные циклы не возникают, отмечена штриховкой. Горизонтальные линии соответствуют минимальным значениям , при которых происходит изменение режима в мертвой зоне. Числа внутри каждой из областей обозначают максимальное значение амплитуды колебаний в режиме предельного цикла, возможных в этой области плоскости .

Фиг. 5.42. Зависимость амплитуды колебаний предельного цикла от коэффициентов фильтра (по Джексону).

Предельные циклы, возникающие при , будут рассмотрены ниже.

Выше были проанализированы эффекты предельного цикла в блоках второго порядка, соответствующие возникновению пары эффективных комплексно сопряженных полюсов. Предельные циклы в таких блоках могут существовать и при появлении действительного эффективного полюса в точке z = ±1. В этом случае условием возникновения режима предельного цикла с выходной амплитудой, равной к, является следующее равенство:

Для различных значений к нетрудно определить положение областей в плоскости , внутри которых выполняется условие (5.127). Эти области показаны на фиг. 5.42.

Изучение предельных циклов важно по двум причинам. В системах связи отключение сигнала может вызвать эффекты предельного цикла. Это весьма нежелательно, поскольку хотелось бы, чтобы при отсутствии входного сигнала на выходе канала ничего не было слышно. Поэтому при использовании цифровых фильтров в системах телефонии данной проблеме следует уделить достаточно серьезное внимание. Вторая причина заключается в том, что предельные циклы можно использовать для генерации периодических последовательностей. Колебания предельного цикла с нужными характеристиками можно использовать при цифровой обработке в качестве источника сигнала.

После выхода в свет работы Джексона, посвященной предельным циклам, уточнению границ для амплитуд и частот колебаний предельного цикла уделялось очень много внимания. Подробности можно найти в соответствующих публикациях.

ЛИТЕРАТУРА

Литература общего характера

1. Oppenheim А. V., Weinstein С. W., Effects of Finite Register Length in Digital Filters and the Fast Fourier Transform, Proc. IEEE, 60, No. 8, 957-976 (Aug. 1972); есть русский перевод: Оппенгейм, Вайнштейн, Влияние конечной длины регистра при цифровой фильтрации и быстром преобразовании Фурье, ТИИЭР, т. 60, № 8, стр. 41-65 (1972).

2. Gold В., Rader С. М., Digital Processing of Signals, Ch. 4, McGraw-Hill, 1969; есть русский перевод: Голд Б., Рэйдер Ч., Цифровая обработка сигналов, изд-во «Советское радио», 1973.

3. Liu В., Effect of Finite Word Length on the Accuracy of Digital Filters - A Review, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 670-677 (Nov. 1971).

4. Bennett W. R., Spectra of Quantized Signals, Bell Syst. Tech. J., 27, 446- 472 (July 1948).

5. Rader С. M., Gold В., Effects of Parameter Quantization on the Poles of a Digital Filter, Proc. IEEE, 55, No. 5, 688-689 (May 1967); есть русский перевод: Рейдер, Голд, Влияние квантования параметров на полюсы цифрового фильтра, ТИИЭР, 55, № 55, стр. 98-100 (1967).

Шум округления в рекурсивных структурах. Случай фиксированной запятой

1. Knowles J. В., Edwards R., Effects of a Finite-Word-Length Computer in a Sainpled-Data Feedback System, Proc. Inst. Elec. Eng., 112, 1197- 1207 (June 1965).

2. Gold В., Rader С. M., Effects of Quantization Noise in Digital Filters, Proc. AFIPS 1966 Spring Joint Computer Conf., 28, 213-219 (1966).

3. Jackson L. В., On the Interaction of Roundoff Noise and Dynamic Range in Digital Filters, Bell Syst. Tech. J., 49, 159-184 (Feb. 1970).

4. Jackson L. В., Roundoff Noise Analysis for Fixed-Point Digital Filters Realized in Cascade or Parallel Form, IEEE Trans, on Audio and Electro-acoustics, AU-18, 107-122 (June 1970).

Шум округленна в нерекурсивных структурах. Случай фиксированной запятой

1. Chan D. S. К., Rabiner L. R., Theory of Roundoff Noise in Cascade Realizations of Finite Impulse Response Digital Filters, Bell Syst. Tech. J., 52, No. 3, 329-345 (March 1973).

2. Chan D. S. K., Rabiner L. R., An Algorithm for Minimizing Roundoff Noise in Cascade Realizations of Finite Impulse Response Digital Filters, Bell Syst. Tech. J., 52, No. 3, 347-385 (March 1973).

3. Chan D. S. K., Rabiner L. R., Analysis of Quantization Errors in the Direct Form for Finite Impulse Response Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 4, 354-366 (Aug. 1973).

Шум округления в рекурсивных структурах. Случай плавающей запятой

1. Sandberg I. W., Floating-Point Roundoff Accumulation in Digital Filter Realization, Bell Syst. Tech. J., 46, 1775-1791 (Oct. 1967).

2. Капеко Т., Liu В., Roundoff Error of Floating-Point Digital Filters, Proc. Ш Annual Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 219-227 (Oct. 1968).

3. Weinstein C., Oppenheim A. V., A Comparison of Roundoff Noise in Floating Point and Fixed Point Digital Filter Realizations, Proc. IEEE (Corresp.), 57, 1181-1183 (June 1969); есть русский перевод: Вайнштепн, Оппенгейм, Сравнение шумов округления цифровых фильтров при пх реализации по методу с плавающей запятой и по методу с фиксированной запятой, ТИИЭР, т. 57, № 7. стр. 72-74 (1969).

4. Liu В., Капеко Т., Error Analysis of Digital Filters with Floating-Point Arithmetic, Proc. IEEE, 57, 1735-1747 (Oct. 1969); есть русский перевод: Лиу, Канеко, Анализ погрешностей цифровых фильтров, реализуемых арифметическими операциями с плавающей запятой, ТИИЭР, т. 57, № 10, стр. 49-63 (1969).

5. Oppenheim А. V., Realization of Digital Filters Using Block Floating-Point Arithmetic, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-18, 130-136 (June 1970).

Колебания переполнения

1. Ebert P. M., Mazo J. E., Taylor M. G., Overflow Oscillations in Digital Filters, Bell Syst. Tech. J., 48, 3021-3030 (Nov. 1968).

Квантование коэффициентов в рекурсивных структурах

2. Kaiser J. F., Some Practical Considerations in the Realization od Linear Digital Filters, Proc. 3rd Annual Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 621 - 633 (1965).

3. Rader С. M., Gold В., Effects of Parameter Quantization on the Poles of a Digital Filter, Proc. IEEE (Corresp.), 55, 688-689 (May 1967).

4. Knowles J. В., Olcayto E. M., Coefficient Accuracy and Digital Filter Response, IEEE Trans. Circuit Theory, 15, No. 1, 31-41 (March 1968).

5. Avenhaus E., Schuessler H. W., On the Approximation Problem in the Design of Digital Filters with Limited Wordlength, Arch. Elek. Ubertragung, 24, 571-572 (1970).

Квантование коэффициентов в нерекурсивных структурах

1. Hermann О., Schuessler Н. W., On the Accuracy Problem in the Design of Nonrecursive Digital Filters, Arch. Elek. Ubertragung, 24, 525-526 (1970).

2. Chan D. S. K., Rabiner L. R., Analysis of Quantization Errors in the Direct Form for Finite Impulse Response Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 4, 354-366 (Aug. 1973).

3. Weinstein C. W., Quantization Effects in Frequency Sampling Filters, NEREM Record, 22 (1968).

Предельные циклы в рекурсивных структурах

1. Blackman R. В., Linear Data-Smoothing and Prediction in Theory and Practice, Addison-Wesley Puhl. Co., Reading, Mass., pp. 75-79 (1965).

2. Jackson L. В., An Analysis of Limit Cycles Due to Multiplication Rounding in Recursive Digital (Sub) Filters, Proc. 1th Annual Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 69-78 (1969).

3. Parker S. R., Hess S. F., Limit-Cycle Oscillations in Digital Filters, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 687-696 (Nov. 1971).

4. Sandberg I. W., A Theory Concerning Limit Cycles in Digital Filters, Proc. 7th Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 63-67 (1969).

5. Brubaker T. A., Gowdy J. N., Limit Cycles in Digital Filters, IEEE Trans. Automatic Control, 17, No. 5, 675-677 (Oct. 1972).

6. Sandberg 1. W., Kaiser J. F., A Bound on Limit Cycles in Fixed-Point Implementations of Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 2, 110-112 (June 1972).