Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций
Рассмотрены примеры интегрирования рациональных функций (дробей) с подробными решениями.
СодержаниеСм. также: Корни квадратного уравнения
Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
,
,
.
Пример 1
Вычислить интеграл:
.
Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3 ) меньше степени многочлена числителя (4 ). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.
1.
Выделим целую часть дроби. Делим x 4
на x 3 - 6
x 2 + 11
x - 6
:
Отсюда
.
2.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Подставим x = 1
:
.
1
.
Делим на x - 1
:
Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение .
.
Корни уравнения: ,
.
Тогда
.
3.
Разложим дробь на простейшие.
.
Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.
Пример 2
Вычислить интеграл:
.
Здесь в числителе дроби - многочлен нулевой степени (1 = x 0 ). В знаменателе - многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3 , то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.
1.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, -1, -3
.
Подставим x = 1
:
.
Итак, мы нашли один корень x = 1
.
Делим x 3 + 2
x - 3
на x - 1
:
Итак,
.
Решаем квадратное уравнение:
x 2 +
x + 3 = 0
.
Находим дискриминант: D = 1 2 - 4·3 = -11
.
Поскольку D < 0
,
то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2.
.
(x - 1)(x 2 +
x + 3)
:
(2.1)
.
Подставим x = 1
.
Тогда x - 1 = 0
,
.
Подставим в (2.1)
x = 0
:
1 = 3
A - C
;
.
Приравняем в (2.1)
коэффициенты при x 2
:
;
0 =
A + B
;
.
.
3.
Интегрируем.
(2.2)
.
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.
;
;
.
Вычисляем I 2
.
.
Поскольку уравнение x 2 +
x + 3 = 0
не имеет действительных корней, то x 2 +
x + 3 > 0
.
Поэтому знак модуля можно опустить.
Поставляем в (2.2)
:
.
Пример 3
Вычислить интеграл:
.
Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3 . Степень многочлена знаменателя дроби равна 4 . Поскольку 3 < 4 , то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.
1.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли один корень x = -1
.
Делим на x - (-1)
= x + 1
:
Итак,
.
Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли еще один корень x = -1
.
Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на ,
но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0
не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2.
Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1) 2 (x 2 + 2)
:
(3.1)
.
Подставим x = -1
.
Тогда x + 1 = 0
,
.
Продифференцируем (3.1)
:
;
.
Подставим x = -1
и учтем, что x + 1 = 0
:
;
;
.
Подставим в (3.1)
x = 0
:
0 = 2
A + 2
B + D
;
.
Приравняем в (3.1)
коэффициенты при x 3
:
;
1 =
B + C
;
.
Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.
3.
Интегрируем.
.
Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.
Пример.
Решение.
Так
как степень числителя подынтегральной
функции равна степени знаменателя, то
для начала выделяем целую часть,
проводя деление
столбиком многочлена на многочлен:
Поэтому, 
.
Разложение
полученной правильной рациональной
дроби на
простейшие дроби имеет вид
.
Следовательно,
Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.
Так
как 
,
то
.
Поэтому
Следовательно,
Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.
Интегрирование простейших дробей первого типа
Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:
Пример.
Решение.
Найдем неопределенный интеграл , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования.
К началу страницы
Интегрирование простейших дробей второго типа
Для
решения этой задачи также подходит
метод непосредственного интегрирования:
Пример.
Решение.
К началу страницы
Интегрирование
простейших дробей третьего типа 
Для
начала представляем неопределенный
интеграл 
в
виде суммы:
Первый
интеграл берем методом подведения под
знак дифференциала:
Поэтому,
У
полученного интеграла преобразуем
знаменатель:
Следовательно,
Формула
интегрирования простейших дробей
третьего типа принимает вид:
Пример.
Найдите
неопределенный интеграл 
.
Решение.
Используем
полученную формулу:
Если
бы у нас не было этой формулы, то как бы
мы поступили:
9. Интегрирование простейших дробей четвертого типа
Первый
шаг – подводим под знак дифференциала:
Второй
шаг – нахождение интеграла вида 
.
Интегралы подобного вида находятся с
использованием рекуррентных формул.
(Смотрите разделинтегрирование
с использованием рекуррентных формул).
Для нашего случая подходит следующая
рекуррентная формула:
Пример.
Найдите неопределенный интеграл
Решение.
Для
данного вида подынтегральной функции
используем метод подстановки. Введем
новую переменную (смотрите
раздел интегрирование
иррациональных функций):
После
подстановки имеем:
Пришли
к нахождению интеграла дроби четвертого
типа. В нашем случае имеем коэффициенты М
= 0, р = 0, q = 1, N = 1
и n
= 3
.
Применяем рекуррентную формулу:
После обратной замены получаем результат:
10. Интегрирование тригонометрических функций.
Множество задач сводится к нахождению интегралов трансцендентных функций, содержащих тригонометрические функции. В данной статье сгруппируем наиболее часто встречающиеся виды подынтегральных функций и на примерах рассмотрим методы их интегрирования.
Начнем с интегрирования синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Из
таблицы первообразных сразу заметим,
что 
и
.
Метод
подведения под знак дифференциалапозволяет
вычислить неопределенные интегралы
функций тангенса и котангенса:
К началу страницы
Разберем первый случай, второй абсолютно аналогичен.
Воспользуемся методом
подстановки:
Пришли
к задаче интегрирования
иррациональной функции. Здесь нам
также поможет метод подстановки:
Осталось
провести обратную замену иt
= sinx
:
К началу страницы
Подробно
о принципах их нахождении можете
ознакомиться в разделеинтегрирование
с использованием рекуррентных формул.
Если изучите вывод этих формул, то без
особого труда сможете брать интегралы
вида
,
гдеm
и n
–
натуральные числа.
К началу страницы
К началу страницы
Максимум творчества приходится вкладывать, когда подынтегральная функция содержит тригонометрические функции с различными аргументами.
Здесь на помощь приходят основные формулы тригонометрии. Так что выписывайте их на отдельный листочек и держите перед глазами.
Пример.
Найти
множество первообразных функции 
.
Решение.
Формулы
понижения степени дают 
и
.
Поэтому
Знаменатель
представляет собой формулу синуса
суммы, следовательно,
Приходим
к сумме трех интегралов.
К началу страницы
Подынтегральные выражения, содержащие тригонометрические функции, иногда можно свести к дробно рациональным выражениям, используя стандартную тригонометрическую подстановку.
Выпишем
тригонометрические формулы, выражающие
синус, косинус, тангенс через тангенс
половинного аргумента:
При интегрировании нам также понадобится выражение дифференциала dx через тангенс половинного угла.
Так
как 
,
то
То есть, , где.
Пример.
Найти
неопределенный интеграл 
.
Решение.
Применим
стандартную тригонометрическую
подстановку:
Таким
образом, 
.
Разложение
на простейшие дробиподынтегральной
функции приводит нас к сумме двух
интегралов:
Осталось
провести обратную замену :
11. Рекуррентные формулы – это формулы, выражающие n -ый член последовательности через предыдущие члены. При нахождении интегралов они не редко используются.
Мы не ставим целью перечислить все рекуррентные формулы, а хотим дать принцип их получения. Вывод этих формул основан на преобразовании подынтегральной функции и применении метода интегрирования по частям.
К
примеру, неопределенный интеграл 
можно
взять, используя рекуррентную формулу
.
Вывод формулы :
Используя формулы тригонометрии, можно записать:
Полученный интеграл найдем методом интегрирования по частям. В качестве функции u(x) возьмем cosx , следовательно, .
Поэтому,
Возвращаемся
к исходному интегралу:
То
есть,
Что и требовалось показать.
Аналогично выводятся следующие рекуррентные формулы:
Пример.
Найти неопределенный интеграл .
Решение.
Используем
рекуррентную формулу из четвертого
пункта (в нашем примере n
= 3
):
Так
как из таблицы первообразных имеем 
,
то
Как я уже отмечал, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования дроби . И поэтому наблюдается грустная тенденция: чем «навороченнее» дробь, тем труднее найти от нее интеграл. В этой связи приходится прибегать к различным хитростям, о которых я сейчас и расскажу. Подготовленные читатели могут сразу воспользоваться оглавлением :
- Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
Метод искусственного преобразования числителя
Пример 1
Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая , но запись решения получится значительно длиннее.
Пример 2
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.
Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто . В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).
Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя, больше старшей степени знаменателя .
Пример 3
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Начинаем подбирать числитель.
Алгоритм подбора числителя примерно такой:
1) В числителе мне нужно организовать , но там . Что делать? Заключаю в скобки и умножаю на : .
2) Теперь пробую раскрыть эти скобки, что получится? . Хмм… уже лучше, но никакой двойки при изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на :
3) Снова раскрываю скобки: . А вот и первый успех! Нужный получился! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое . Что делать? Чтобы выражение не изменилось, я обязан прибавить к своей конструкции это же :
. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать ?
4) Можно. Пробуем: 
. Раскрываем скобки второго слагаемого: 
. Простите, но у меня вообще-то было на предыдущем шаге , а не . Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на :
5) Снова для проверки раскрываю скобки во втором слагаемом: 
. Вот теперь нормально: получено из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое , значит, я обязан прибавить к своему выражению :
Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:
Гуд.
Таким образом:
Готово. В последнем слагаемом я применил метод подведения функции под дифференциал.
Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция . Рассмотренный метод разложения в сумму – есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.
Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно. Припоминаю рекордный случай, когда я выполнял подбор для 11-й степени, и разложение числителя заняло почти две строчки Вёрда.
Пример 4
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения.
Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
Переходим к рассмотрению следующего типа дробей.
, , , (коэффициенты и не равны нулю).
На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле . Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:
Пример 5
Пример 6
Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как
осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем
выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в примере 6 сначала необходимо представить знаменатель в виде 
, потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой 
.
Да что смотреть, попробуйте самостоятельно решить примеры №№7,8, тем более, они достаточно короткие:
Пример 7
Пример 8
Найти неопределенный интеграл:
Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то большой респект – Ваши навыки дифференцирования на высоте.
Метод выделения полного квадрата
Интегралы вида , 
(коэффициенты и не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата
, который уже фигурировал на уроке Геометрические преобразования графиков
.
На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:
Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их соответственно в либо .
Пример 9
Найти неопределенный интеграл
Это простейший пример, в котором при слагаемом – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).
Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:
Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:
Теперь можно применить формулу :
После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.
Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:
Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала: , в принципе, можно было пренебречь
Пример 10
Найти неопределенный интеграл:
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Пример 11
Найти неопределенный интеграл:
Что делать, когда перед находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!
Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить:
Тут получилась формула , применяем:
ВСЕГДА
выполняем на черновике проверку:
, что и требовалось проверить.
Чистовое оформление примера выглядит примерно так:
Усложняем задачу
Пример 12
Найти неопределенный интеграл:
Здесь при слагаемом уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».
(1) Если при находится константа, то её сразу выносим за скобки.
(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.
(3) Очевидно, что всё сведется к формуле . Надо разобраться в слагаемом , а именно, получить «двойку»
(4) Ага, . Значит, к выражению прибавляем , и эту же дробь вычитаем.
(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить , но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма 
, и действие выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.
(6) Собственно, можно применить формулу 
, только вместо «икс» у нас , что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию следовало подвести под знак дифференциала: 
, но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают.
(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:
Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений.
Пример 13
Найти неопределенный интеграл:
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы , но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.
Подведение числителя под знак дифференциала
Это заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? ;)
Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или 
(коэффициенты , и не равны нулю).
То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?
Для интегрирования рациональной функции \(\large\frac{{P\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}}\normalsize,\) где \({P\left(x \right)}\) и \({Q\left(x \right)}\) − полиномы, используется следующая последовательность шагов:
Если дробь неправильная (т.е. степень \({P\left(x \right)}\) больше степени \({Q\left(x \right)}\)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
Разложить знаменатель \({Q\left(x \right)}\) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя ;
Вычислить интегралы от простейших дробей.
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя \({P\left(x \right)}\) больше степени знаменателя \({Q\left(x \right)}\)), разделим многочлен \({P\left(x \right)}\) на \({Q\left(x \right)}.\) Получим следующее выражение: \[\frac{{P\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}} = F\left(x \right) + \frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}},\] где \(\large\frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}}\normalsize\) − правильная рациональная дробь.
Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби
Запишем многочлен знаменателя \({Q\left(x \right)}\) в виде \[ {Q\left(x \right) } = {{\left({x - a} \right)^\alpha } \cdots {\left({x - b} \right)^\beta }{\left({{x^2} + px + q} \right)^\mu } \cdots {\left({{x^2} + rx + s} \right)^\nu },} \] где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.
Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде: \[ {\frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}} = \frac{A}{{{{\left({x - a} \right)}^\alpha }}} + \frac{{{A_1}}}{{{{\left({x - a} \right)}^{\alpha - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{A_{\alpha - 1}}}}{{x - a}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{B}{{{{\left({x - b} \right)}^\beta }}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left({x - b} \right)}^{\beta - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{B_{\beta - 1}}}}{{x - b}} }\kern0pt {+ \frac{{Kx + L}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}} + \frac{{{K_1}x + {L_1}}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^{\mu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{K_{\mu - 1}}x + {L_{\mu - 1}}}}{{{x^2} + px + q}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{Mx + N}}{{{{\left({{x^2} + rx + s} \right)}^\nu }}} + \frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{\left({{x^2} + rx + s} \right)}^{\nu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{M_{\nu - 1}}x + {N_{\nu - 1}}}}{{{x^2} + rx + s}}.} \] Общее число неопределенных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) должно быть равно степени знаменателя \({Q\left(x \right)}.\)
Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель \({Q\left(x \right)}\) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями \(x.\) В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов .
Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул: \ \ У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат: \[\int {\frac{{Ax + B}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^k}}}dx} = \int {\frac{{At + B"}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}dt} ,\] где \(t = x + \large\frac{p}{2}\normalsize,\) \({m^2} = \large\frac{{4q - {p^2}}}{4}\normalsize,\) \(B" = B - \large\frac{{Ap}}{2}\normalsize.\) Затем применяются следующие формулы: \ \[ {4.\;\;\int {\frac{{tdt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{1}{{2\left({1 - k} \right){{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } \] \ Интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}\normalsize} \) может быть вычислен за \(k\) шагов с помощью формулы редукции \[ {6.\;\;\int {\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{t}{{2{m^2}\left({k - 1} \right){{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } {+ \frac{{2k - 3}}{{2{m^2}\left({k - 1} \right)}}\int {\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} } \]
Все вышеизложенное в предыдущих пунктах позволяет нам сформулировать основные правила интегрирования рациональной дроби.
1. Если рациональная дробь неправильна, то ее представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (см. п. 2).
Этим самым интегрирование неправильной рациональной дроби сводят к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.
2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множители.
3. Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рациональной дроби сводят к интегрированию простейших дробей.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найти .
Решение. Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь. Выделяя целую часть, получим
Следовательно,
Замечая, что , разложим правильную рациональную дробь
на простейшие дроби:
(см. формулу (18)). Поэтому
Таким образом, окончательно имеем
Пример 2. Найти
Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь.
Разлагая ее на простейшие дроби (см. формулу (16)), получим
