Сложение пар сил. Условие равновесия сил
Система пар сил, действующая на тело, эквивалентна одной паре сил, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющи х пар.
Пусть на твердое тело действуют три пары сил (Р1, Р1 ′ ), (Р2, Р2 ′ ), (Р3, Р3 ′ ) (рис. 5. 9), расположенные в одной плоскости. Моменты этих пар:
М 1 = Р 1 . d 1 , М 2 = Р 2 . d 2, М 3 = - Р 3 . d 3
Выберем произвольный отрезок АВ дли ной d в той ж е п лоскости и заменим заданные пары эквивалентными (Q1, Q1 ′ ), (Q2, Q2 ′ ), (Q3, Q3 ′ ) с общим плечом d.
Найдем модули сил эквивалентных пар из соотношений
М1 = Р1 . d1 = Q1 . d, М2 = Р2 . d2 = Q2 . d, М3 = - Р3 . d3 = - Q3 . d .
Сложим силы, приложенные к концам отрезка АВ и найдем модуль их равнодействующей:
R = Q1 + Q2 - Q3
R′ = - R = (-Q′ 1 - Q′ 2 + Q′ 3 )
Равнодействующие R и R′ составляют результирующую пару эквивалентную системе заданных пар.
Момент этой пары:
М = R . d = (Q1 + Q2 - Q3 ) d = Q1 . d + Q2 . d - Q3 . d = М1 + М2 + М3
Если на тело действует «n» пар, то момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар:
М = ∑ Мi
Уравновешивающей называется пара, момент которой равен по абсолютной величине моменту результирующей пары, но противоположен по направлению.
Пример 5.1
Определить момент результирующей пары для трех заданных пар (рис. 5.
10, а), если Р1 = 10 кН, Р2 = 15 кН, Р3 = 20 кН, d1 = 4 м, d2 = 2 м, d3 = 6 м.
Определяем момент каждой пары сил:
М1 = 10 Н . 4 м = 40 Нм М2 = - 15 Н . 2 м = - 30 Нм М3 = - 20 Н . 6 м = - 120 Нм
М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 40 – 30 – 120 = - 110 Нм
Пример 5. 2
На раму (рис. 5. 10, б) действуют три пары сил (Р1, Р1 ′ ), (Р2, Р2 ′ ), (Р3, Р3 ′ ), приложенных в точках А1 , А2 , А3 соответственно. Определить момент
результирующей пары, если Р1 = 10 Н, Р2 = 15 Н, Р3 = 20 Н, а плечи пар сил d1 =
0,4 м, d2 = 0,2 м, d3 = 0,6 м.
Определяем моменты пар сил:
М1 = Р1 . d1 = 10 . 0,4 = 4 Нм М2 = - Р2 . d2 = - 15 . 0,2 = - 3 Нм М3 = - Р3 . d3 = - 20 . 0,6 = - 12 Нм
Определяем момент результирующей пары:
М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 4 – 3 – 120 = - 11 Нм
Пример 5. 3
На балку (рис. 5. 10, в) действуют три пары сил (Р1, Р1 ′ ), (Р2, Р2 ′ ), (Р3, Р3 ′ ), приложенных в точках А1 , А2 , А3 . Определить момент результирующей пары,
если Р1 = 2 кН, Р2 = 3 кН, Р3 = 6 кН, а плечи пар сил d1 = 0,2 м, d2 = 0,4 м, d3 = 0,3 м.
Определяем моменты пар сил:
М1 = - Р1 . d1 = - 2 . 0,2 = - 0,4 кНм М2 = - Р2 . d2 = - 3 . 0,4 = - 1,2 кНм М3 = Р3 . d3 = 6 . 0,3 = 1,8 кНм
Определяем момент результирующей пары:
М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = - 0,4 – 1,2 + 1,8 = 0,2 кНм
Пример 5. 4
Определить моменты результирующих пар, действующих на рамы (рис. 5. 10, г, д, е) самостоятельно.
Результаты решения: |
|||
М = - 50 кНм |
|||
М = - 80 кНм |
|||
Рис. 5. 10, е |
|||
P3 "Е |
||||||||||
М1 = 10кНм |
М2 = 20кНм |
|||||||||
М2 = 40кНм |
||||||||||
М3 = 40кНм |
||||||||||
М1 = 10кНм |
М4 = 80кНм |
|||||||||
5. 5. Сложение пар сил в пространстве
Теорема. Система пар сил, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре сил, момент которой равен геометрической сумме моментов составляющих пар.
Доказательство
Докаж ем те орему для двух пар сил, плоскости действия которых I и II, а моменты М1 и М2 (рис. 5. 11, а). Преобразуем пары сил так, чтобы плечами их был отрезок АВ , лежащ ий на линии пересечения плоскостей. Получим две пары сил (Р1, Р1 ′ ) и (Q2, Q2 ′ ), имеющих одинаковые плечи и измененные соответствующим образом модули сил, которые найдем из соотношений
М 1 = Р1 . АВ
М2 = Q1 . АВ
Сложив силы, приложенные в точках А и В, найдем их равнодействующие
R = Р1 + Q1
R′ = Р1 ′ + Q1 ′
Параллелограммы сил равны и л ежат в параллельных плоскостях. Следовательно, равнодействующие R и R′ равны по модулю, параллельны и направлен ы в противоположные стороны, т.е. составляют результирующую пару (R, R′ ).
Найдем момент этой пары:
М = r х R = АВ х R = АВ х (Р1 + Q1 ) = АВ х Р1 + АВ х Q1 = М1 + М 2
Следовательно, момент пары М равен геометрической сумме моментов М1 и М2 и изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах М1 и М2.
Если на твердое тело действует «n» пар сил с моментами М1 , М2 … Мn , то результирующая пара будет иметь момент, равный геометрической сумме моментов этих пар
М = ∑ Мi
5. 6. Условия равновесия системы пар сил
Для равновесия пар сил на плоскости необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех пар была равна нулю
∑ Мi = 0
Для равновесия пар сил в пространстве необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма моментов всех пар была равна нулю
∑ Мi = 0
Пример 5. 5
Определить опорные реакции RА и RВ балки (рис. 5. 11, б), находящейся под действием двух пар сил, используя условия равновесия пар сил на плоскости.
1) Определим момент результирующей пары сил
М = М1 + М2 = - 40 + 30 = - 30 кНм По скольку пара сил может быть уравновешена только парой, то реакции
RА и RВ должны составить пару сил. Линия действия реакции RВ определена (перпендикулярна опорной поверхн ости), линия действия реакции RА параллельна линии действия реакции RВ .
Примем направления реакций в соответствии с рис. 5. 11, б .
2) Определим момент уравновешивающей пары сил (R А , RВ )
М (R А , RВ ) = МR = RА . АВ = RВ . АВ
3) Определим опорные реакции из условия равновесия пар сил
∑ Мi = 0 М + МR = 0
30 + RА . 6 = 0
RА = 5 кН; RВ = RА = 5 кН
Сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов:
М = М 1 + М 2 + …+ М n = ΣМ i
Условие равновесия системы пар, лежащих в одной плоскости : для равновесия системы пар необходимо чтобы сумма моментов пар равнялась нулю:
ΣМ i = 0 (3.2)
Пример 3.1. Определить момент результирующей пары, эквивалентной системе трех пар, лежащих в одной плоскости (рис. 3.3). Первая пара F 1 = F¢ 1 = 2 кН, плечо h 1 = 1,25 м; вторая пара F 2 = F¢ 2 = 3 кН, плечо h 2 = 2 м; третья пара F 3 = F¢ 3 = 4,5 кН, плечо h 3 = 1,2 м.
Рис. 3.3
Момент силы относительно точки
Момент М о (F) силы F относительно точки О равен произведению силы на плечо. (рис. 3.4, а). Сила F стремится поворачивать плечо а вокруг точки О .
М о (F) = F× a, Н×м, (3.3)
где а - плечо силы F.
Плечо силы – этодлина перпендикуляра а, опущенного из точки на линию действия силы
Рис. 3.4
Центр момента - точка О, относительно которой возникает момент.
Момент положительный , если сила стремится вращать тело по часовой стрелке (рис. 3.4, а ), и отрицательный - против часовой стрелки (рис. 3.4, б ).
Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точки равен нулю, так как плечо а = 0 (рис. 3.4, в ).
Лекция № 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ
Опорные устройства балочных систем
1) Шарнирно-подвижная опора (рис. 4.1, а)- допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение параллельно опорной плоскости. Направление опорной реакции - перпендикуляр к опорной плоскости. (рис. 5.1, б).
2) Шарнирно-неподвижная опора (рис, 4.1,б ) - допускает только поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких линейных перемещений. Опорная реакция R A раскладывается на две составляющие - R Ax и R Ay .
3) Жесткая заделка (защемление) (рис. 4.1,в)- не допускает ни линейных перемещений, ни поворота.В защемлении действуют две составляющие опорной реакции - R Ax , R Ay и реактивный момент М А.
а) б) в)
Рис. 4.1
Двухопорные балки имеют две опоры – одна опора шарнирно-неподвижная, вторая – шарнирно-подвижная. Шарнирно-подвижная опора необходима для компенсации перемещений балки при температурных расширениях балки из-за колебаний температуры, а также при возможной подвижке опоры, например, при осадке почвы.
Виды балок
Консоль – выступающая за опору не закрепленная часть балки (рис. 4.2, б, в).
1) Бесконсольные балки 2) Одноконсольные балки 3) Двухконсольные балки
Рис. 4.2
Виды нагрузок
1) Сосредоточенная сила (рис.4.3, а) – F - сила, приложенная в одной точке.
Рис. 4.3
(рис.4.3, б) – нагрузка, равномерно распределенная на некоторой длине l . Характеризуется интенсивностью q , единица измерения- Н/м или кН/м.
При решении задач равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q заменяется одной силой F q = q×l , которая является равнодействующей силой и прикладывается посередине длины l .
3) Пара сил или момент (рис. 4.3, в) – М, Н×м.
Равновесие плоской системы сил
Условие равновесия произвольной плоской системы сил - произвольная плоская система сил находится в равновесии, когда алгебраические суммы проекций сил на координатные оси и сумма моментов равны нулю:
Первый вид:Второй вид:Третий вид:
SF ix = 0 S F ix = 0 SМ А = 0
SF i у = 0 SМ А = 0 SМ В = 0
SМ о = 0 SМ В = 0 SМ С = 0
Решение задач на определение опорных реакций
Для решения задач надо составить столько уравнений равновесия, сколько неизвестных сил в задаче. Для определения опорных реакций двухопорной балки (R Ax , R Ay и R В) необходимо составить три уравнения равновесия второго вида : SF ix = 0, SМ А = 0, SМ В = 0.
Пример 4.1 . Определить опорные реакции балки, изображенной на рис. 4.4, а , нагруженной парой с моментом М = 10 кН×м, сосредоточенной силой F = 4 кН и распределенной нагрузкой интенсивностью q = 1,5 кН/м.
Просмотр: эта статья прочитана 24574 раз
Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский
Краткий обзор
Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык
Обзор
Какое-либо кинематическое состояние тел, имеющих точку или ось вращения, можно описать моментом силы, характеризующим вращательный эффект действия силы.
Момент силы относительно центра - это векторное произведение радиус - вектора точки приложения силы на вектор силы.
Плечо силы - кратчайшее расстояние от центра до линии действия силы (перпендикуляр из центра на линию действия силы).
Вектор направляется по правилу векторного произведения: момент силы относительно центра (точки) как вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены сила и центр так, чтобы с его конца было видно, что сила пытается вращать тело вокруг центра против хода часовой стрелки.
Единицей измерения момента силы есть 1
Момент силы относительно центра в плоскости - алгебраическая величина, которая равняется произведению модуля силы на плечо относительно того же центра с учетом знака.
Знак момента силы зависит от направления, в котором сила пытается вращать вокруг центра:
- против хода часовой стрелки -„−” (отрицательный)
- по часовой стрелке -„+” (положительный);
Свойства момента силы относительно центра (точки ).
- Модуль момента силы относительно точки равняется удвоенной площади треугольнику построенного на векторах.
- Момент силы относительно точки не изменяется при перенесении силы вдоль ее линии действия, поскольку неизменным остается плечо силы.
- Момент силы относительно центра (точки) равняется нулю, если:
- сила равняется нулю F = 0;
- плечо силы h = 0, т.е. линия действия силы проходит через центр.
Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей).
Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно какого-либо центра равняется алгебраической сумме моментов составляющих сил системы относительно того же центра.
Теория пар сил
Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону.
Равнодействующая системы двух параллельных сил направленных в одну сторону равняется по модулю сумме модулей составляющих сил, параллельна им и направлена в том же направлении.
Линия действия равнодействующей проходит между точками приложения составляющих на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных к силам
Сложение двух параллельных сил, направленных в разные стороны (случай сил разных по модулю)
Равнодействующая двух параллельных, неравных по модулю, противоположно направленных сил параллельна им и направлена в направлении большей силы и по модулю равняется разности составляющих сил.
Линия действия равнодействующей проходит за пределами отрезка (со стороны большей силы), соединяющего точки их приложения, и отстоит от них на расстояния, обратно пропорциональные силам.
Пара сил - система двух параллельных, равных по модулю и противоположных по направлению сил, приложенных к абсолютно твердому телу.
Плечо пары сил - расстояние между линиями действия сил пары, т.е. длина перпендикуляра, проведенного из произвольной точки линии действия одной из сил пары на линию действия второй силы.
Плоскость действия пары сил
- это плоскость, в которой расположены линии действий сил пары.
Действие пары сил сводится к вращательному движению, которое определяется моментом пары.
Моментом пары называется вектор с такими признаками:
- он перпендикулярен плоскости пары;
- направлен в ту сторону, откуда вращение, которое осуществляет пара, видно против часовой стрелки;
- его модуль равняется произведению модуля одной из сил пары на плечо пары с учетом знака
Знак момента пары сил:
- „+” - вращение против часовой стрелки
- „-„ - вращение по часовой стрелке
Момент пары сил равняется произведению модуля одной из сил пары на плечо пары.
Момент пары - свободный вектор - для него ни точка приложения, ни линия действия не обозначены, они могут быть произвольными.
Свойство момента пары сил: момент пары равняется моменту одной из сил относительно точки приложения второй силы.
Теоремы о паре сил
Теорема 1. Пара сил не имеет равнодействующей, т.е. пару сил нельзя заменить одной силой.
Теорема 2. Пара сил не является системой уравновешенных сил.
Следствие : пара сил, действующая на абсолютно твердое тело, старается вращать его.
Теорема 3. Сумма моментов сил пары относительно произвольного центра (точки) в пространстве является величиной неизменной и представляет собой вектор-момент этой пары.
Теорема 4. Сумма моментов сил, которые составляют пару, относительно произвольного центра в плоскости действия пары не зависит от центра и равняется произведению силы на плечо пары с учетом знака, т.е. самому моменту пары.
Теорема 5 - об эквивалентности пар. Пары сил, моменты которых равны численно и по знаку, являются эквивалентными. Т.е. пару сил можно заменить или уравновесить только другой эквивалентной парой сил.
Теорема 6 - об уравновешенности пары сил. Пара сил составляет уравновешенную систему сил тогда и только тогда, когда момент пары равняется нулю.
Теорема 7 - о возможностях перемещения пары сил в плоскости ее действия. Пара сил, полученная перемещениям пары в любое место в плоскости ее действия, эквивалентна предоставленной паре.
Теорема 8 - о добавлении пар сил в плоскости. Момент пары, эквивалентной предоставленной системе пар в плоскости, равняется алгебраической сумме моментов составляющих пар. Т.е. для сложения пар сил необходимо сложить их моменты.
Условия равновесия системы пар сил.
Пары сил в плоскости уравновешиваются в том случае, если алгебраическая сумма их моментов равняется нулю.
Язык: русский, украинский
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.
Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.
Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается
Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается
Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Теорема о сложении пар сил . Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Доказательство: Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях. Пара сил в плоскости характеризуется моментом, а пара сил в плоскости характеризуется моментом.Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы, приложенные в точке А и в точке В, . Получаем пару сил.
Условия равновесия пар сил.
Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необхо-димо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.
20.динамические дифференциальные уравнения относительно движения материальной точки. Динамическая теорема Кориолиса
Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.
Для вывода уравнений воспользуемся второй и четвертой аксиомами динамики. Согласно второй аксиоме ma = F (1)
где, по четвертой аксиоме, F является равнодействующей всех сил, приложенных к точке.
С учетом последнего замечания выражение (1) часто называют основным уравнением динамики. По форме записи оно представляет собой второй закон Ньютона, где одна сила, согласно аксиоме независимости действия сил, заменена равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке. Вспомнив, что a = dV / dt = d2r / dt = r"", получаем из (1) дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме: mr"" = F (2)
дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки .
Согласно аксиоме связей, заменив связи их реакциями, можно рассматривать несвободную материальную точку, как свободную, находящуюся под действием активных сил и реакций связей.согласно четвертой аксиоме динамики, F будет равнодействующей активных сил и реакций связей.
Поэтому дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки можно использовать для описания движения несвободной точки, помня о том, что проекции сил на прямоугольные оси Fx, Fy, Fz в уравнениях (4) и проекции сил на естественные оси Fτ, Fn, Fb в уравнениях (6) включают в себя не только проекции активных сил, но и проекции реакций связей.
Наличие реакций связей в уравнениях движения точки естественно усложняет решение задач динамики, так как в них появляются дополнительные неизвестные. Для решения задач нужно знать свойства связей и иметь уравнения связей, которых должно быть столько, сколько реакций связей.
Сила Кориолиса равна:
где m - точечная масса, w - вектор угловой скорости вращающейся системы отсчёта, v- вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операция векторного произведения.
Величина называется кориолисовым ускорением.
Си́лаКориоли́са - одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения
Справедливость выводов, сделанных в конце § 9, можно доказать непосредственно.
Рассмотрим действующую на твердое тело пару сил F, F. Проведем в ллоскости действия этой пары через произвольные точки D и Е две параллельные прямые до пересечения их с линиями действия сил F, F в точках А и В (рис. 34) и приложим силы F, F в этих точках (первоначально F и F могли быть приложены в любых других точках на их линиях действия). Разложим теперь силу F по направлениям АВ и ЕВ на силы - по направлениям В А и AD на силы Q и Р. Очевидно при этом, что Силы Q и Q, как уравновешенные, можно отбрисить. В результате пара сил F, F будет заменена парой Р, Р с другим плечом и другими силами, которые можно, очевидно, приложить в точках D, Е на их линиях действия. При этом в силу произвольности в выборе точек D, Е и направлений прямых AD и BE пара Р, Р может оказаться расположенной в плоскости ее действия где угодно f? положение, при котором силы Р и Р параллельны F, пару можно привести, проделав указанное преобразование дважды).
Покажем в заключение, что пары имеют одинаковые моменты. Обозначим эти моменты соответственно через где согласно формуле Так как то но (см. подстрочное примечание на с. 32) и, следовательно,
Из доказанного вытекают следующие свойства пары сил:
1) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары;
2) у данной пары, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.
Можно доказать, что пара сил обладает еще одним достаточно очевидным свойством (доказательство опускаем):
3) пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, параллельную данной.
Отсюда следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны друг другу (теорема об эквивалентности пар). Это следует из того, что указанными операциями, т. е. путем изменения плеча и перемещения пары в плоскости действия или переноса в параллельную плоскость, пары с одинаковыми моментами могут быть преобразованы одна в другую.
Теперь докажем теорему о сложении пар: система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.
Рассмотрим сначала две пары с моментами лежащие в плоскостях (рис. 35). Возьмем на линии пересечения плоскостей отрезок и изобразим пару с моментом силами а пару с моментом - силами (при этом, конечно, ).
Сложив силы, приложенные в точках А и В, убеждаемся, что пары действительно эквивалентны одной паре найдем момент М этой пары. Так как то или согласно формуле
Для двух пар теорема доказана; при этом очевидно, что доказательство сохранится и в случае, когда плоскости и II сливаются (слагаемые пары лежат в одной плоскости).
Если на тело действует система пар с моментами то последовательно применяя результат, полученный для двух пар, найдем, что данная система пар будет действительно эквивалентна одной паре с моментом
