Можно ли делить 1. Уроки математики: почему нельзя делить на ноль
Строгий запрет на деление на ноль налагается ещё в младших классах школы. Дети обычно и не задумываются о его причинах, но на самом деле знать, почему что-нибудь запрещается, и интересно, и полезно.
Арифметические действия
Арифметические действия, которые изучаются в школе, неравноценны с точки зрения математиков. Они признают полноправными только две из этих операций - сложение и умножение. Они входят в само понятие числа, и все остальные действия с числами так или иначе строятся на этих двух. То есть невозможно не только деление на ноль, но и деление вообще.
Вычитание и деление
Чего же не хватает остальным действиям? Опять же, из школы известно, что, например, вычесть из семи четыре - значит, взять семь конфет, четыре из них съесть и посчитать те, что останутся. Но математики поеданием конфет и вообще воспринимают их совершенно иначе. Для них есть только сложение, то есть запись 7 - 4 означает число, которое в сумме с числом 4 будет равно 7. То есть для математиков 7 - 4 - это краткая запись уравнения: х + 4 = 7. Это не вычитание, а задача - найти такое число, которое нужно поставить вместо х.
То же самое относится к делению и умножению. Деля десять на два, младшеклассник раскладывает десять конфет на две одинаковые кучки. Математик же и здесь видит уравнение: 2 · х = 10.
Так и выясняется, почему запрещено деление на ноль: оно просто невозможно. Запись 6: 0 должна превращаться в уравнение 0 · х = 6. То есть требуется найти число, которое можно умножить на ноль и получить 6. Но известно, что умножение на ноль всегда даёт ноль. Это сущностное свойство ноля.
Таким образом, нет такого числа, которое, умножаясь на ноль, давало бы какое-то число, отличное от ноля. Значит, у этого уравнения нет решения, нет такого числа, которое соотносилось бы с записью 6: 0, то есть она не имеет смысла. О её бессмысленности и говорят, когда запрещают деление на ноль.
Делится ли ноль на ноль?
А можно ли ноль разделить на ноль? Уравнение 0 · х = 0 не вызывает затруднений, и можно взять за х этот самый ноль и получить 0 · 0 = 0. Тогда 0: 0 = 0? Но, если, например, принять за х единицу, тоже получится 0 · 1 = 0. Можно принять за х вообще какое угодно число и делить на ноль, и результат останется прежним: 0: 0 = 9, 0: 0 = 51 и так далее.
Таким образом, в это уравнение можно вставить совершенно любое число, и невозможно выбрать какое-то конкретное, невозможно определить, какое число обозначается записью 0: 0. То есть и эта запись тоже не имеет смысла, и деление на ноль всё равно невозможно: он не делится даже сам на себя.
Такова важная особенность операции деления, то есть умножения и связанного с ним числа ноль.
Остаётся вопрос: но вычитать его можно? Можно сказать, что настоящая математика начинается с этого интересного вопроса. Чтобы найти ответ на него, необходимо узнать формальные математические определения числовых множеств и познакомиться с операциями над ними. Например, существуют не только простые, но и делениекоторых отличается от деления обычных. Это не входит в школьную программу, но университетские лекции по математике начинаются именно с этого.
Евгений ШИРЯЕВ, преподаватель и руководитель Лаборатории математики Политехнического музея , рассказал "АиФ" о делении на ноль:
1. Юрисдикция вопроса
Согласитесь, особенную провокационность правилу придает запрет. Как это нельзя? Кто запретил? А как же наши гражданские права?
Ни конституция, ни Уголовный кодекс, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующего нас интеллектуального действия. А значит, запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо тут, на страницах "АиФ", попробовать что-нибудь разделить на ноль. Например, тысячу.
2. Разделим, как учили
Вспомните, когда вы только узнали, как делить, первые примеры решали с проверкой умножением: результат, умноженный на делитель, должен был совпасть с делимым. Не совпал - не решили.
Пример 1. 1000: 0 =...
Забудем на минуту про запретное правило и сделаем несколько попыток угадать ответ.
Неправильные отсечёт проверка. Перебирайте варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст один и тот же результат:
100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0
Ноль умножением все превращает в себя и никогда - в тысячу. Вывод сформулировать несложно: никакое число не пройдет проверку. Т. е. ни одно число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, а просто не имеет результата.
3. Нюанс
Чуть не упустили одну возможность опровергнуть запрет. Да, мы признаем, что ненулевое число не разделится на 0. Но может быть, сам 0 сможет?
Пример 2. 0: 0 = ...
Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное 100, умноженное на делитель 0, равно делимому 0.
Еще варианты! 1? Тоже подходит. И −23, и 17, и все-все-все. В этом примере проверка на результат будет положительной для любого числа. И, по-честному, решением в этом примере надо называть не число, а множество чисел. Всех. А так недолго договориться и до того, что Алиса - это не Алиса, а Мэри-Энн, а обе они - сон кролика.
4. Что там про высшую математику?
Проблема разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все прояснилось - ответом для примера с делением на ноль не может быть ни одно число. Такие задачки решать - дело безнадежное и невозможное. А значит... интересное! Дубль два.
Пример 3. Придумать, как разделить 1000 на 0.
А никак. Зато 1000 можно без трудностей делить на другие числа. Ну, давайте хотя бы делать то, что получается, пусть даже изменив поставленную задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ сам собой объявится. Забываем на минуту про ноль и делим на сто:
Сотня далека от нуля. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать и дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:
Осталось заметить, что к нулю мы можем подойти как угодно близко, делая частное сколь угодно большим.
В этом процессе нет нуля и нет последнего частного. Мы обозначили движение к ним, заменив число на последовательность, сходящуюся к интересующему нас числу:
При этом подразумевается аналогичная замена и для делимого:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Стрелки не зря поставлены двусторонними: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем поставить в соответствие последовательности ее числовой предел.
Посмотрим на последовательность частных:
Она растет неограниченно, не стремясь ни к какому числу и превосходя любое. Математики добавляют к числам символ ∞, чтобы иметь возможность рядом с такой последовательностью поставить двустороннюю стрелку:
Сопоставление числам последовательностей, имеющих предел, позволяет предложить решение к третьему примеру:
При поэлементном делении последовательности, сходящейся к 1000, на последовательность из положительных чисел, сходящуюся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.
5. И здесь нюанс с двумя нулями
Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном - последовательность с нулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:
Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0 . Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!
6. В жизни
Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи. Часто его записывают в такой форме:
Позволим себе пренебречь аккуратным физическим пониманием и формально посмотрим на правую часть как на частное двух чисел. Вообразим, что решаем школьную задачу по электричеству. В условии дано напряжение в вольтах и сопротивление в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.
А теперь заглянем в определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов обладать нулевым электрическим сопротивлением.
Ну что, решим задачку для сверхпроводящей цепи? Просто так подставить R = 0 не выйдет, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. И люди, сумевшие поделить на ноль в этой ситуации, получили Нобелевскую премию. Любые запреты полезно уметь обходить!
Класс: 3
Учебник: «Математика» М.И.Моро
Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.
Задачи урока:
- раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
- развивать самостоятельность, внимание, мышление;
- формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.
Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.
Структура урока включала в себя:
- Орг. момент , целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
- Мотивация позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел . В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой : нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети самостоятельно сформулировали цель и поставили перед собой учебные задачи урока.
- Поиск и открытие нового знания дал возможность детям предложить различные варианты решения задания. Основываясь на ранее изученный материал, они смогли найти верное решение и прийти к выводу , в котором сформулировали новое правило.
- Во время первичного закрепления ученики комментировали свои действия,работая по правилу , дополнительно были подобраны свои примеры на это правило.
- Для автоматизации действий и умения пользоваться правилам в нестандартных заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
- Самостоятельная работа и проведенная взаимопроверка показали, что большинство детей тему усвоили.
- Во время рефлексии дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.
В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.
Ход урока
| Цель этапа | Содержание этапа | Деятельность ученика | ||||||||||||
| 1. Орг. момент | ||||||||||||||
| Подготовка уч-ся к работе, позитивный настрой на учебную деятельность. | Стимулирование на учебную деятельность
. Проверьте свою готовность к уроку, сядьте ровно, облокотитесь на спинку стула. Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично. |
Организация рабочего места, проверка посадки. | ||||||||||||
| 2. Мотивация. | ||||||||||||||
| Стимулирование познавательной активности, активизация мыслительного процесса |
Актуализация знаний, достаточных для приобретения нового знания. Устный счёт. Проверка знания табличного умножения: |
Решение заданий, основанных на знании табличного умножения. | ||||||||||||
| А) найди лишнее число: 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 Объясните, почему оно лишнее и каким числом его надо заменить. |
Нахождение лишнего числа. | |||||||||||||
| Б) вставьте пропущенные числа: … 16 24 32 … 48 … |
Добавление недостающего числа. | |||||||||||||
| Создание проблемной ситуации
Задания в парах: В) расставьте примеры в 2 группы: Почему так распределили? (с ответом 4 и 5). |
Классификация примеров по группам. | |||||||||||||
| Карточки: 8·7-6+30:6= 28:(16:4)·6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10·2):5= |
Сильные ученики работают по индивидуальным карточкам. | |||||||||||||
| Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример? Все ли примеры вы смогли решить? У кого возникли затруднения? Чем этот пример отличается от остальных? Если кто-то решил, то молодец. Но почему не все смогли справиться с этим примером? |
Нахождение затруднения. Выявление недостающего знания, причины затруднения. |
|||||||||||||
| Постановка учебной задачи. Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число. Вспомните, что вы знаете про 0? (а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)· Приведите примеры. Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0. Подходят ли эти правила к нашему примеру? Как же он поведёт себя при елении? |
Наблюдение над известными приёмами действий с 0 и соотношение с исходным примером. | |||||||||||||
| Итак, какова наша цель? Решить этот пример верно. Таблица на доске. Что для этого надо? Узнать правило деления 0 на число. |
Выдвижение гипотезы, | |||||||||||||
| Как же найти верное решение? С каким действием связано умножение? (с делением) Приведите пример 2 · 3 = 6 6: 2 = 3 Можем ли мы теперь 0:5? Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0. х·5=0 Это число 0. Значит, 0:5=0. Приведите свои примеры. |
поиск решения на основе ранее изученного, | |||||||||||||
| Формулирование правила. Какое же правило теперь можно сформулировать? При делении 0 на число получается 0. 0: а = 0. |
Решение типовых заданий с комментированием. Работа по схеме (0:а=0) |
|||||||||||||
| 5. Физминутка. | ||||||||||||||
| Профилактика нарушения осанки, снятие усталости с глаз, общего утомления. | ||||||||||||||
| 6. Автоматизация знаний. | ||||||||||||||
| Выявление границ применимости нового знания. | В каких ещё заданиях может понадобиться знание этого правила? (в решении примеров, уравнений) |
Использование полученных знаний в разных заданиях. Работа в группах. |
||||||||||||
| Что неизвестно в этих уравнениях? Вспомните, как узнать неизвестный множитель. Решите уравнения. Какое решение в 1 уравнении? (0) Во 2? (нет решения, на 0 делить нельзя) |
Обращение к ранее изученным умениям. | |||||||||||||
| ** Составьте уравнение с решением х=0 (х·5=0) | Для сильных уч-ся творческое задание | |||||||||||||
| 7. Самостоятельная работа. | ||||||||||||||
| Развитие самостоятельности, познавательных способностей | Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой. №6 |
Активные умственные действия учащихся, связанные с поисками решения, опираясь на свои знания. Самоконтроль и взаимоконтроль. Сильные ученики проверяют и помогают более слабым. |
||||||||||||
| 8. Работа над ранее пройденным материалом. Отработка умения решения задач. | ||||||||||||||
| Формирование навыка решения задач. | Как вы думаете, часто ли в задачах используется число 0? (Нет, не часто, т.к. 0 – это ничего, а в задачах должно какое-то количество чего-либо.) Тогда будем решать задачи, где есть другие числа. Прочитайте задачу. Что поможет решить задачу? (таблица) Какие столбики в таблице надо записать? Заполните таблицу. Составьте план решения: что надо узнать в 1, во 2 действии? |
Работа над задачей с использованием таблицы. Планирование решения задачи. Самостоятельная запись решения. Самоконтроль по образцу. |
||||||||||||
| 9. Рефлексия. Итоги урока. | ||||||||||||||
| Организация самооценки деятельности. Повышение мотивации ребёнка. |
Над какой темой сегодня работали? О чём вы не знали в начале урока? Какую цель ставили перед собой? Достигли вы её? С каким правилом познакомились? Оцените свою работу, выставив соответствующий значок:
| Осознавание своей деятельности, самоанализ своей работы. Фиксация соответствия результатов деятельности и поставленной цели. | ||||||||||||
| 10. Домашнее задание. | ||||||||||||||
В курсе школьной арифметики все математические операции проводятся с вещественными числами. Множество этих чисел (или непрерывное упорядоченное поле) имеет ряд свойств (аксиом): коммутативность и ассоциативность умножения и сложения, существование нуля, единицы, противоположного и обратного элементов. Также аксиомы порядка и непрерывности, применяемые для сравнительного анализа, позволяют определить все свойства вещественных чисел.
Поскольку деление является операцией, обратной умножению, при делении на ноль вещественных чисел неизбежно возникновение двух неразрешимых проблем. Во-первых, проверка результата деления на ноль при помощи умножения не имеет числового выражения. Каким бы числом не было частное, если его умножить на ноль, делимое получить невозможно. Во-вторых, в примере 0:0 ответом может служить абсолютно любое число, которое при перемножении с делителем всегда обращается в ноль.
Деление на ноль в высшей математике
Перечисленные трудности деления на ноль привели к наложению табу на эту операцию, по крайней мере, в рамках школьного курса. Однако в высшей математике находят возможности обойти этот запрет.
Например, за счет построения другой алгебраической структуры, отличной от знакомой всем числовой прямой. Примером такой структуры является колесо. Здесь существуют свои законы и правила. В частности, деление не привязано к умножению и превращается из бинарной операции (с двумя аргументами) в унарную (с одним аргументом), обозначается символом /х.
Расширение поля вещественных чисел происходит за счет введения гиперреальных чисел, которое охватывает бесконечно большие и бесконечно малые величины. Такой подход позволяет рассматривать термин «бесконечность» как некое число. Причем это число при расширении числовой прямой теряет свой знак, превращаясь в идеализированную точку, соединяющую два конца этой прямой. Такой подход можно сравнить с линией смены дат, когда при переходе между двумя часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 можно оказаться в следующем дне или же в предыдущем. При этом становится верным утверждение х/0=∞ для любых х≠0.
Чтобы устранить неопределенность 0/0, для колеса вводится новый элемент ⏊=0/0. При этом в данной алгебраической структуре есть свои нюансы: 0·х≠0; х-х≠0 в общем случае. Также х·/х≠1, поскольку деление и умножение больше не считаются обратными операциями. Но данные особенности колеса хорошо объясняются с помощью тождеств дистрибутивного закона, действующего в такой алгебраической структуре несколько иначе. Более подробные разъяснения можно найти в специализированной литературе.
Алгебра, к которой все привыкли, является, по сути, частным случаем более сложных систем, например, того же колеса. Как видим, делить на ноль в высшей математике можно. Для этого требуется выйти за границы привычных представлений о числах, алгебраических операциях и законах, которым они подчиняются. Хотя это вполне естественный процесс, сопровождающий любой поиск новых знаний.
«Делить на ноль нельзя!» - большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.
Всё дело в том, что четыре действия арифметики - сложение, вычитание, умножение и деление - на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.
Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 - это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача - найти подходящее число.
Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности, это просто сокращенная форма записи уравнения 4 x = 8.
Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 - это сокращение от 0 x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.
Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает, и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.
Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 0 = 0. Выходит, 0: 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 1 = 0. Правильно? Значит, 0: 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 и т. д.
Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)
Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее - у операции умножения и связанного с ней числа ноль.
Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас, в первую очередь, будут учить именно этому.
